Resolva a equação 2 x^2 y^prime prime+5 x y^prime+y=x^2-x, de modo que a solução particular yp seja determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: 2x^2 y'' + 5x y' + y = x^2 - x. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular yp. Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver 2x^2 y'' + 5x y' + y = 0. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja y = x^m, onde m é uma constante a ser determinada. Então:
y' = m x^m-1
y'' = m(m-1) x^m-2
Substituindo na equação homogênea:
2x^2 cdot m(m-1) x^m-2 + 5x cdot m x^m-1 + x^m = 0
Simplificando:
2m(m-1) x^m + 5m x^m + x^m = 0
Fatorando x^m:
x^m [2m(m-1) + 5m + 1] = 0
Como x^m neq 0, temos a equação característica:
2m(m - 1) + 5m + 1 = 0
Expandindo:
2m^2 - 2m + 5m + 1 = 0
2m^2 + 3m + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
De<a = 9 - 8 = 1
m = -3 pm raiz14
Assim, m = -3 + 14 = -12 e m = -3 - 14 = -1

Passo 3

Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^-1/2 + C2 x^-1
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular yp para a equação não homogênea 2x^2 y'' + 5x y' + y = x^2 - x usando o método dos coeficientes indeterminados.
Observamos que o lado direito da equação é um polinômio de grau 2: x^2 - x. Portanto, assumimos que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
yp = A x^2 + B x + C
Calculamos as derivadas:
yp' = 2A x + B
yp'' = 2A
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
2x^2 cdot 2A + 5x cdot (2A x + B) + (A x^2 + B x + C) = x^2 - x
Simplificando:
4A x^2 + 10A x^2 + 5B x + A x^2 + B x + C = x^2 - x
Somando os termos semelhantes:
(4A + 10A + A) x^2 + (5B + B) x + C = x^2 - x
Ou seja:
15A x^2 + 6B x + C = x^2 - x
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x:
Para x^2:
15A = 1 Rightarrow A = 115
Para x:
6B = -1 Rightarrow B = -16
Para o termo constante:
C = 0
Portanto, a solução particular é:
yp = 115x^2 - 16x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 + 115x^2 - 16x
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

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