Resolva a equação
, de modo que a solução particular
seja determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
. Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, onde
é uma constante a ser determinada. Então:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos a equação característica:
Expandindo:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim,
e
Passo 3
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação não homogênea
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Observamos que o lado direito da equação é um polinômio de grau 2:
. Portanto, assumimos que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Calculamos as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Ou seja:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.