Determine as assíntotas horizontais de y=f(x) nos seguintes casos.
f(x)=raiz[3]64 x^3+1raiz[4]x^4+6 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais de \r
f(x)=raiz[3]64x^3+1raiz[4]x^4+6x^2+1,\r
ou seja, calcular \r
limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x). \r
O conteúdo envolve limites no infinito e uso de fatoração dentro de radicais.

Passo 2

Para xto+infty, fatoramos as potências de x nos radicais:\r
raiz[3]64x^3+1 =raiz[3]64x^3l(1+164x^3r) =4xl(1+tfrac164x^3r)^!1/3,
raiz[4]x^4+6x^2+1 =raiz[4]x^4l(1+6x^2+1x^4r) =xl(1+tfrac6x^2+tfrac1x^4r)^!1/4 \r
Logo\r
f(x) =4xl(1+O(1/x^3)r)xl(1+O(1/x^2)r) =4,1+O(1/x^3)1+O(1/x^2);longrightarrow;4

Passo 3

Para xto-infty, o cubo continua com sinal de x e a raiz quarta dá o módulo de x:\r
raiz[3]64x^3+1sim4x, raiz[4]x^4+6x^2+1=|x|l(1+O(1/x^2)r)=-xl(1+O(1/x^2)r) \r
Assim\r
f(x)sim4x-x=-4

Resposta

As assíntotas horizontais são\r
y=4(xto+infty),
y=-4(xto-infty)

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