Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0 x-sen 3 x4 sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam próximo de zero e aplicar algumas regras de limite, como a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos 0 - sin 04 sin 0 = 0 - 04 times 0 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada , o que significa que precisamos aplicar outra técnica para encontrar o limite. Uma das maneiras mais eficazes para resolver isso é usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ddx(x - sin 3x) = 1 - 3cos 3x ou ddx(4 sin 3x) = 12 cos 3x , podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão original.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas no limite original:
limx 0 1 - 3cos 3x12 cos 3x

Passo 5

Vamos agora substituir 1 - 3cos 012 cos 0 = 1 - 3 times 112 times 1 = 1 - 312 = -212 = -16 nessa nova expressão:

Resposta

O limite é .

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