Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam próximo de zero e aplicar algumas regras de limite, como a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos aplicar outra técnica para encontrar o limite. Uma das maneiras mais eficazes para resolver isso é usando a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão original.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas no limite original:
Passo 5
Vamos agora substituir
nessa nova expressão:
Resposta
O limite é
.