Estenda
periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite
da série?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estender a função
periodicamente fora do intervalo
e encontrar a série de Fourier dessa função estendida. Por fim, queremos descobrir qual é o limite
dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre extensão periódica e séries de Fourier, que são ferramentas que ajudam a representar funções como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos estender a função
periodicamente. Isso significa que vamos repetir o padrão de
em intervalos de comprimento
. Nossa função original é definida por:
Então, para qualquer
, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier de uma função periódica com período
é dada por:
onde os coeficientes
e
são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
De novo, substituindo
:
Essa integral pode ser resolvida por partes, e o resultado é:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Resolvendo essa integral também por partes, obtemos:
Passo 7
Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função
:
Passo 8
Por fim, queremos saber o limite
dessa série. A teoria diz que a série de Fourier converge para a função original
em todos os pontos onde
é contínua. Nos pontos de descontinuidade, ela converge para a média dos limites à esquerda e à direita. Portanto:
Resposta
A série de Fourier da função estendida é
e o limite
da série é igual à função original
.