Estenda f(x) periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite g(x) da série?
f(x) = { 0, -pi <= x < 0, x, 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estender a função periodicamente fora do intervalo e encontrar a série de Fourier dessa função estendida. Por fim, queremos descobrir qual é o limite dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre extensão periódica e séries de Fourier, que são ferramentas que ajudam a representar funções como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos estender a função periodicamente. Isso significa que vamos repetir o padrão de em intervalos de comprimento . Nossa função original é definida por:
Então, para qualquer , podemos escrever:
é

Passo 3

Agora, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
onde os coeficientes e são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
De novo, substituindo :
Essa integral pode ser resolvida por partes, e o resultado é:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Substituindo :
Resolvendo essa integral também por partes, obtemos:

Passo 7

Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função :

Passo 8

Por fim, queremos saber o limite dessa série. A teoria diz que a série de Fourier converge para a função original em todos os pontos onde é contínua. Nos pontos de descontinuidade, ela converge para a média dos limites à esquerda e à direita. Portanto:

Resposta

A série de Fourier da função estendida é
e o limite da série é igual à função original .

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