Considere o campo .
(a) Mostre que é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo vetorial. O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar isso usando o conceito de rotacional (ou “curl”) do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Uma condição chave para isso é que o rotacional do campo seja zero em toda a região considerada. Ou seja, se , então é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional, , é dado pela seguinte matriz determinante:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 4
Vamos substituir os componentes de F na matriz:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 5
Calculando a componente na direção x (i):
Vamos derivar:
Então:
Passo 6
Calculando a componente na direção y (j):
Derivando:
Então:
Passo 7
Calculando a componente na direção z (k):
Derivando:
Então:
Resposta
Como todas as componentes do rotacional nabla vezes F são iguais a zero, concluímos que o campo vetorial F é conservativo.