Considere o campo F(x, y, z) = (y + y^2 * z, x - z + 2 * x * y * z, -y + x * y^2).
(a) Mostre que F é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo vetorial. O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial F(x, y, z) = (y + y^2 * z, x - z + 2 * x * y * z, -y + x * y^2) é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar isso usando o conceito de rotacional (ou “curl”) do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Uma condição chave para isso é que o rotacional do campo seja zero em toda a região considerada. Ou seja, se , então F é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional, nabla vezes F, é dado pela seguinte matriz determinante:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Vamos substituir os componentes de F na matriz:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 5

Calculando a componente na direção x ( i):
Vamos derivar:
Então:

Passo 6

Calculando a componente na direção y ( j):
Derivando:
Então:

Passo 7

Calculando a componente na direção z ( k):
Derivando:
Então:

Resposta

Como todas as componentes do rotacional nabla vezes F são iguais a zero, concluímos que o campo vetorial F é conservativo.

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