Use o Teorema de Green para calcular
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
é o campo vetorial dado.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green à nossa integral
. Primeiro, identificamos as componentes
e
do campo vetorial
:
Então, nossa integral de linha fica:
Passo 4
De acordo com o Teorema de Green, podemos substituir essa integral de linha por uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Isso significa que, ao invés de calculamos a integral ao redor da curva, podemos calcular uma integral dupla mais fácil sobre a área
.
Passo 5
Para finalizar, precisamos calcular a integral dupla:
Isso envolve:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Subtrair
de . - Integrar o resultado sobre a região
.
Observação: Para realizar esses cálculos, precisamos conhecer explicitamente as funções
e
, além de saber qual é a região
delimitada pela curva
.
Resposta
Para calcular
usando o Teorema de Green, siga os passos acima aplicando as funções específicas do campo vetorial
e definindo a região
. A resposta final será o valor da integral dupla
.