Use o Teorema de Green para calcular integralalpha2 F cdot d r.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointalpha2 P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, é o campo vetorial dado.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green à nossa integral F = P,i + Q,j . Primeiro, identificamos as componentes ointalpha2 P,dx + Q,dy e do campo vetorial :
Então, nossa integral de linha fica:

Passo 4

De acordo com o Teorema de Green, podemos substituir essa integral de linha por uma integral dupla sobre a região ointalpha2 P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA delimitada por :
Isso significa que, ao invés de calculamos a integral ao redor da curva, podemos calcular uma integral dupla mais fácil sobre a área .

Passo 5

Para finalizar, precisamos calcular a integral dupla:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Isso envolve:
  1. Calcular as derivadas parciais e .
  2. Subtrair de .
  3. Integrar o resultado sobre a região .
Observação: Para realizar esses cálculos, precisamos conhecer explicitamente as funções e , além de saber qual é a região delimitada pela curva .

Resposta

Para calcular usando o Teorema de Green, siga os passos acima aplicando as funções específicas do campo vetorial e definindo a região . A resposta final será o valor da integral dupla .

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