Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existir, justifique.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\), em que \(f(x)= \begin{cases}x+1, & \text { se } x \geq 1 \\\\ 2 x, & \text { se } x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
onde
f(x)= \begin{cases} x+1, & x\ge1,\\\\ 2x, & x<1. \end{cases}
O conteúdo aqui é cálculo de limite envolvendo função peça-por-peça. Vamos precisar de f(1) e dos limites laterais quando x\to1^- e x\to1^+.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(1)=1+1=2,
pois no ponto x=1 usamos o ramo x+1.

Passo 3

Para o limite pela direita ( x\to1^+), usamos f(x)=x+1. Então, para x\neq1,
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{(x+1)-2}{x-1} =\frac{x-1}{x-1} =1.
Logo
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1.

Passo 4

Para o limite pela esquerda ( x\to1^-), usamos f(x)=2x. Então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{2x-2}{x-1} =\frac{2(x-1)}{x-1} =2.
Logo
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Passo 5

Como
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1,
os limites laterais são diferentes, logo o limite global não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais valem 2 (pela esquerda) e 1 (pela direita).

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