Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existir, justifique.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}\), em que \(f(x)= \begin{cases}2 x, & \text { se } x \geq 2 \\\ \frac{x^{2}}{2}, & \text { se } x<2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2},
onde a função f\) é dada por \[f(x)= \begin{cases} 2x, & x\ge 2,\\\ \dfrac{x^2}{2}, & x<2. \end{cases}
Esse limite equivale à definição de derivada de f\] em \(x=2, mas vamos verificar separadamente os limites lateral direito e esquerdo.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(2). Como 2\ge2, usamos o ramo f(x)=2x, logo
f(2)=2\cdot 2=4.

Passo 3

Para o limite pela direita, substituímos f(x)=2x quando x>2:
\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\lim_{x\to2^+}\frac{2x-4}{x-2} =\lim_{x\to2^+}2 =2.

Passo 4

Para o limite pela esquerda, usamos f(x)=\tfrac{x^2}{2} quando x<2:
\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\lim_{x\to2^-}\frac{\frac{x^2}{2}-4}{x-2} =\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-8}{2(x-2)} =\lim_{x\to2^-}\frac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)} =\lim_{x\to2^-}\frac{x+2}{2} =\frac{4}{2}=2.

Passo 5

Como os limites laterais são iguais e valem 2, o limite total existe e vale 2.

Resposta

\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2.

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