Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ tende a \((0,0)$. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e vamos precisar testar se o valor da função depende da direção pela qual \(x,y)\ se aproxima de \((0,0)\, usando retas do tipo \y = m x\.

Passo 2

Para ver se o limite existe de verdade, vamos aproximar por uma reta \y = m x\. Nesse caso, definimos \x = t\ e \y = m t\, com \t \to 0\. Substituindo na função, temos:
2x^2+3xy+4y^23x^2+5y^2 = 2t^2 + 3t(m t) + 4(m t)^23t^2 + 5(m t)^2 = 2 + 3m + 4m^23 + 5m^2
O resultado acima não depende de \t\, mas depende de \m\. Assim, cada valor de \m\ dá um “limite” direcional diferente.

Passo 3

Para ver que eles realmente diferem, basta escolher dois valores de \m\. Por exemplo, para \m = 0\ (eixo $x$),
x
E para \m = 1\ (reta $y = x$),
2 + 3cdot 0 + 4cdot 0^23 + 5cdot 0^2 = 23

Passo 4

Como os limites ao longo de direções diferentes são \frac{2}{3}\ e \frac{9}{8}\, eles não coincidem, logo o limite total não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites ao longo de diferentes retas dão valores distintos.

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