Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ tende a \((0,0)$. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e vamos precisar testar se o valor da função depende da direção pela qual \(x,y)\ se aproxima de \((0,0)\, usando retas do tipo \y = m x\.
Passo 2
Para ver se o limite existe de verdade, vamos aproximar por uma reta \y = m x\. Nesse caso, definimos \x = t\ e \y = m t\, com \t \to 0\. Substituindo na função, temos:
O resultado acima não depende de \t\, mas depende de \m\. Assim, cada valor de \m\ dá um “limite” direcional diferente.
Passo 3
Para ver que eles realmente diferem, basta escolher dois valores de \m\. Por exemplo, para \m = 0\ (eixo $x$),
E para \m = 1\ (reta $y = x$),
Passo 4
Como os limites ao longo de direções diferentes são \frac{2}{3}\ e \frac{9}{8}\, eles não coincidem, logo o limite total não existe.
Resposta
O limite não existe, pois os limites ao longo de diferentes retas dão valores distintos.