Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=0^+infty x^n=11-x. Lembramos que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=sen x. Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência (depois de achar o raio de convergência) :
sumn=0^+infty x^4 n(4 n)!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=0^+inftyx^4n(4n)!. O conteúdo envolve séries de potências e as expansões conhecidas de e^x, cos x e sin x. Para resolver, primeiro vamos achar o raio de convergência e depois usar as raízes da unidade para filtrar os termos cujo índice é múltiplo de 4 na série de e^x.

Passo 2

Vamos aplicar o Critério da Razão a an=dfracx^4n(4n)!. Calculamos
limnto+infty|an+1an|=limnto+infty|x|^4(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)=0

Passo 3

Como o limite é zero, o raio de convergência é infinito e a série converge para todo xinR.

Passo 4

Para somar, lembramos que e^x=sumn=0^+inftyx^nn!. Se conseguirmos extrair apenas os termos com índice 4n, teremos nossa série. Usamos então o filtro das raízes da unidade: seja omega=e^2pi i/4=i. Note que
sumk=0^3e^omega^k x=sumk=0^3sumn=0^+infty(omega^k x)^nn! = sumn=0^+inftyl(sumk=0^3omega^knr)x^nn!

Passo 5

Como sumk=0^3omega^kn=4 se n é múltiplo de 4 e zero caso contrário, temos
14sumk=0^3e^omega^k x=sumn=0^+inftyx^4n(4n)!

Passo 6

Por fim, escrevendo em termos de funções hiperbólicas e trigonométricas:
sumn=0^+inftyx^4n(4n)!=14l(e^x+e^-x+e^ix+e^-ixr)

Passo 7

Como e^x+e^-x=2cosh x e e^ix+e^-ix=2cos x, concluímos que
sumn=0^+inftyx^4n(4n)!=2cosh x+2cos x4=cosh x+cos x2

Resposta

Para todo xinR, sumn=0^+inftyx^4n(4n)!=cosh x+cos x2.

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