Lembramos que para todo temos . Lembramos que para todo temos e . Calcular as somas seguintes dentro dos seus domínios de convergência (depois de achar o raio de convergência) :
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série . O conteúdo envolve séries de potências e as expansões conhecidas de , e . Para resolver, primeiro vamos achar o raio de convergência e depois usar as raízes da unidade para filtrar os termos cujo índice é múltiplo de 4 na série de .
Passo 2
Vamos aplicar o Critério da Razão a . Calculamos
Passo 3
Como o limite é zero, o raio de convergência é infinito e a série converge para todo xinR.
Passo 4
Para somar, lembramos que e^x=sumn=0^+inftyx^nn!. Se conseguirmos extrair apenas os termos com índice 4n, teremos nossa série. Usamos então o filtro das raízes da unidade: seja omega=e^2pi i/4=i. Note que