Matemáticos gostam de provar que certas “coisas” em um sistema matemático são únicas. Por exemplo, a prova de uma proposição como “A unidade no sistema de números complexos é única” em geral se inicia com a hipótese de que existem duas unidades diferentes - digamos,
e
- e prossegue com a demonstração de que esta hipótese leva a alguma contradição. Dê uma contradição, caso se admita que existem duas unidades diferentes.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos mostrar que não podem existir duas unidades diferentes em
. Assumimos, para buscar uma contradição, que existem
e
com
. O conteúdo envolvido é a definição de unidade multiplicativa em anéis.
Passo 2
Definição de unidade: dizemos que um elemento
em um anel (aqui
) é unidade se, para todo
nesse anel, vale
Passo 3
Aplicando a definição a
e
: como
é unidade e
é um complexo qualquer, temos
Passo 4
De forma análoga, usando que
é unidade e
é um complexo, obtemos
Passo 5
Comparando as duas expressões para
, concluímos que
, o que contradiz a hipótese inicial de que eram diferentes.
Resposta
Contradição: chega-se a
, contrariando
.