Matemáticos gostam de provar que certas “coisas” em um sistema matemático são únicas. Por exemplo, a prova de uma proposição como “A unidade no sistema de números complexos é única” em geral se inicia com a hipótese de que existem duas unidades diferentes - digamos, I1 e I2 - e prossegue com a demonstração de que esta hipótese leva a alguma contradição. Dê uma contradição, caso se admita que existem duas unidades diferentes.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos mostrar que não podem existir duas unidades diferentes em C. Assumimos, para buscar uma contradição, que existem I1 e I2 com I1neq I2. O conteúdo envolvido é a definição de unidade multiplicativa em anéis.

Passo 2

Definição de unidade: dizemos que um elemento u em um anel (aqui C) é unidade se, para todo z nesse anel, vale
ucdot z = ze zcdot u = z

Passo 3

Aplicando a definição a I1 e I2: como I1 é unidade e I2 é um complexo qualquer, temos
I1cdot I2 = I2

Passo 4

De forma análoga, usando que I2 é unidade e I1 é um complexo, obtemos
I1cdot I2 = I1

Passo 5

Comparando as duas expressões para I1cdot I2, concluímos que I2 = I1, o que contradiz a hipótese inicial de que eram diferentes.

Resposta

Contradição: chega-se a I1 = I2, contrariando I1neq I2.

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