Suponha que o produto z1 z2 de dois números complexos seja uma constante real não nula. Mostre que z2=k barz1, onde k é um número real.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo a usar: Temos dois números complexos z1 e z2 tais que z1z2=c, onde c é uma constante real não nula. O que precisamos usar aqui é a divisão de números complexos (multiplicando pelo conjugado) e a relação zoverline z=|z|^2.

Passo 2

Isolamento de z2: Como z1neq0 (pois z1z2=cneq0), podemos dividir a igualdade original por z1. Assim,
Aplicação do conjugado na divisão: Para dividir um real c por um complexo z1, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de z1. Temos
cz1 = cz1 cdot z1z1 = c,z1z1,z1 = c|z1|^2,z1

Passo 3

Reconhecimento do fator real: Como c e |z1|^2 são números reais, o quociente
k = c|z1|^2
é também real. Portanto,
Conclusão: Da expressão acima segue que z2 = k,z1, onde kinR.

Resposta

z2 = k,z1, com k = dfracc|z1|^2inR.

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