Suponha que o produto de dois números complexos seja uma constante real não nula. Mostre que , onde é um número real.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo a usar: Temos dois números complexos e tais que , onde é uma constante real não nula. O que precisamos usar aqui é a divisão de números complexos (multiplicando pelo conjugado) e a relação .
Passo 2
Isolamento de : Como (pois ), podemos dividir a igualdade original por . Assim,
Aplicação do conjugado na divisão: Para dividir um real por um complexo , multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de . Temos
Passo 3
Reconhecimento do fator real: Como c e |z1|^2 são números reais, o quociente
k = c|z1|^2
é também real. Portanto,
Conclusão: Da expressão acima segue que z2 = k,z1, onde kinR.