Classifique as afirmações como falsa (F) ou verdadeira (V).
  1. Se \vec{F} for um campo vetorial, então \nabla \cdot \vec{F} é um campo vetorial.
  2. Se \vec{F} for um campo vetorial, então \nabla \times \vec{F} é um campo vetorial.
  3. Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R^{3}, então
\nabla \cdot(\nabla \times \nabla f)=0
  1. Se \vec{F} e \vec{G} são campos vetoriais, então
\nabla \times(\vec{F}+\vec{G})=\nabla \times \vec{F}+\nabla \times \vec{G} .
  1. Se \vec{F} e \vec{G} são campos vetoriais, então
\nabla \cdot(\vec{F} \times \vec{G})=\nabla \cdot \vec{F} \times \vec{G}
  1. Existe um campo vetorial \vec{F} tal que
\nabla \times \vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} .

Passo 1

O enunciado pede para classificar seis afirmações sobre operações vetoriais (divergência, rotor e identidades de cálculo vetorial) como verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar as definições de divergência e rotor, além das propriedades padrão:
– Divergência de um campo vetorial é um escalar.
– Rotor (curl) de um campo vetorial é um vetor.
\nabla\times(\nabla f)=\vec 0 e \nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0.
– O rotor é linear e existem fórmulas para divergência de produto vetorial.

Passo 2

Análise da afirmação 1: “Se \vec F for um campo vetorial, então \nabla\cdot\vec F é um campo vetorial.”
Pela definição, \nabla\cdot\vec F produz um escalar em cada ponto, não um vetor.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação 2: “Se \vec F for um campo vetorial, então \nabla\times\vec F é um campo vetorial.”
O rotor de um campo vetorial é de fato outro campo vetorial.
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação 3: “Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre \mathbb R^3, então
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\nabla f\bigr)=0.

Como \nabla f é um gradiente, vale \nabla\times(\nabla f)=\vec 0. A divergência de \vec 0 é 0.
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação 4: “Se \vec F e \vec G são campos vetoriais, então
\nabla\times(\vec F+\vec G)=\nabla\times\vec F+\nabla\times\vec G.

O rotor é uma operação linear, portanto distribui-se sobre soma de campos.
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmação 5: “Se \vec F e \vec G são campos vetoriais, então
\nabla\cdot(\vec F\times\vec G)=\nabla\cdot\vec F\times\vec G.

A identidade correta é
\nabla\cdot(\vec F\times\vec G)=\vec G\cdot(\nabla\times\vec F)\;-\;\vec F\cdot(\nabla\times\vec G),
não o produto de \nabla\cdot\vec F por \vec G.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 7

Análise da afirmação 6: “Existe um campo vetorial \vec F tal que
\nabla\times\vec F = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k.

Se esse \vec F existisse, teríamos
\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot(x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k)=0.
Porém
\nabla\cdot(x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k) =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3\neq0.
Isso contradiz a identidade da divergência do rotor.
Logo a afirmação é falsa.

Resposta

  1. F
  2. V
  3. V
  4. V
  5. F
  6. F

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