Classifique as afirmações como falsa (F) ou verdadeira (V).
- Se
for um campo vetorial, então
é um campo vetorial.
- Se
for um campo vetorial, então
é um campo vetorial.
- Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
- Se
e
são campos vetoriais, então
- Se
e
são campos vetoriais, então
- Existe um campo vetorial
tal que
Passo 1
O enunciado pede para classificar seis afirmações sobre operações vetoriais (divergência, rotor e identidades de cálculo vetorial) como verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar as definições de divergência e rotor, além das propriedades padrão:
– Divergência de um campo vetorial é um escalar.
– Rotor (curl) de um campo vetorial é um vetor.
– e
.
– O rotor é linear e existem fórmulas para divergência de produto vetorial.
– Divergência de um campo vetorial é um escalar.
– Rotor (curl) de um campo vetorial é um vetor.
–
– O rotor é linear e existem fórmulas para divergência de produto vetorial.
Passo 2
Análise da afirmação 1: “Se
for um campo vetorial, então
é um campo vetorial.”
Pela definição, produz um escalar em cada ponto, não um vetor.
Logo a afirmação é falsa.
Pela definição,
Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação 2: “Se
for um campo vetorial, então
é um campo vetorial.”
O rotor de um campo vetorial é de fato outro campo vetorial.
Logo a afirmação é verdadeira.
O rotor de um campo vetorial é de fato outro campo vetorial.
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação 3: “Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
”
Como é um gradiente, vale
. A divergência de
é
.
Logo a afirmação é verdadeira.
Como
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação 4: “Se
e
são campos vetoriais, então
”
O rotor é uma operação linear, portanto distribui-se sobre soma de campos.
Logo a afirmação é verdadeira.
O rotor é uma operação linear, portanto distribui-se sobre soma de campos.
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação 5: “Se
e
são campos vetoriais, então
”
A identidade correta é
A identidade correta é
não o produto de
por
.
Logo a afirmação é falsa.
Logo a afirmação é falsa.
Passo 7
Análise da afirmação 6: “Existe um campo vetorial
tal que
”
Se esse existisse, teríamos
Se esse
Porém
Isso contradiz a identidade da divergência do rotor.
Logo a afirmação é falsa.
Logo a afirmação é falsa.
Resposta
- F
- V
- V
- V
- F
- F