Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x +infty raiz2 x+3-raizx-13 x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+inftyraiz2x+3-raizx-13x+2. O conteúdo central é limites envolvendo indeterminação do tipo infty-infty, e vamos precisar racionalizar com o conjugado para eliminar essa forma indeterminada.

Passo 2

Para xto+infty, temos raiz2x+3toinfty e raizx-1toinfty, logo o numerador é do tipo infty-infty. O denominador 3x+2toinfty. Portanto, aparece indeterminação do tipo infty-infty. Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
[]
raiz2x+3-raizx-13x+2;cdot;raiz2x+3+raizx-1raiz2x+3+raizx-1 = (2x+3)-(x-1)(3x+2)l(raiz2x+3+raizx-1r) = x+4(3x+2)(raiz2x+3+raizx-1)

Passo 3

Em seguida, fatoramos x dentro das raízes e no termo 3x+2:
[]
raiz2x+3 = raiz x,raiz2+tfrac3x, raizx-1 = raiz x,raiz1-tfrac1x, 3x+2 = xl(3+tfrac2xr) Substituindo essas expressões na fração, obtemos:
[]
x+4(3x+2)(raiz2x+3+raizx-1) = 1+tfrac4xraiz x,l(3+tfrac2xr),l(raiz2+tfrac3x+raiz1-tfrac1xr)

Passo 4

Agora, ao fazermos xto+infty, todos os termos 4/x, 2/x, 3/x, 1/x tendem a zero, e raiz2+3/x+raiz1-1/xtoraiz2+1. Assim o denominador cresce como raiz x, levando a expressão a zero.

Resposta

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