Encontre o que se pede para a parábola de vértice V(-2,3) e diretriz y=2.
a) A equação cartesiana e a representação geométrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana e fazer uma representação geométrica de uma parábola que tem o vértice em V(-2,3) e a diretriz y=2. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice até o foco ou até a diretriz. Se p for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.

Passo 3

Nosso vértice é V(-2,3), então h = -2 e k = 3. A diretriz dada é y=2. A diretriz está a uma distância p abaixo do vértice quando a parábola abre para cima. Para encontrar p, calculamos a diferença entre a coordenada y do vértice e a diretriz:
p = k - diretriz = 3 - 2 = 1
Como p é positivo, sabemos que a parábola abre para cima.

Passo 4

Agora que temos h, k e p, podemos substituir na equação padrão:
(x - (-2))^2 = 4 times 1 times (y - 3)
Simplificando:
(x + 2)^2 = 4(y - 3)
Essa é a equação cartesiana da parábola que estamos procurando.

Passo 5

Para a representação geométrica, sabemos que a parábola abre para cima, tem seu vértice em (-2,3) e a diretriz em y=2. O foco estará a uma distância p=1 acima do vértice, então o foco está em (-2,4). Com essas informações, podemos esboçar a parábola no plano cartesiano.

Resposta

A equação cartesiana da parábola é (x + 2)^2 = 4(y - 3). A representação geométrica é uma parábola que abre para cima, com vértice em (-2,3), diretriz em y=2 e foco em (-2,4).

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