Encontre o que se pede para a parábola de vértice
e diretriz
.
a) A equação cartesiana e a representação geométrica.
a) A equação cartesiana e a representação geométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana e fazer uma representação geométrica de uma parábola que tem o vértice em
e a diretriz
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice até o foco ou até a diretriz. Se
for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.
Passo 3
Nosso vértice é
, então
e
. A diretriz dada é
. A diretriz está a uma distância
abaixo do vértice quando a parábola abre para cima. Para encontrar
, calculamos a diferença entre a coordenada
do vértice e a diretriz:
Como
é positivo, sabemos que a parábola abre para cima.
Passo 4
Agora que temos
,
e
, podemos substituir na equação padrão:
Simplificando:
Essa é a equação cartesiana da parábola que estamos procurando.
Passo 5
Para a representação geométrica, sabemos que a parábola abre para cima, tem seu vértice em
e a diretriz em
. O foco estará a uma distância
acima do vértice, então o foco está em
. Com essas informações, podemos esboçar a parábola no plano cartesiano.
Resposta
A equação cartesiana da parábola é
. A representação geométrica é uma parábola que abre para cima, com vértice em
, diretriz em
e foco em
.