Calcule os seguintes limites (envolvendo o limite trigonométrico fundamental):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\operatorname{sec} (x)}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{x^{2}}.
Informações dadas / observações iniciais:
  • A função trigonométrica presente é \operatorname{sec}(x).
  • O ponto de aproximação é x\to 0.
  • É permitido usar o limite trigonométrico fundamental \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
    A tarefa é calcular esse limite numérico.

Passo 2

Primeiro vamos escrever \operatorname{sec}(x) em termos de \cos(x) para simplificar a expressão. Lembre que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Então
\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{x^{2}}=\frac{1-\dfrac{1}{\cos(x)}}{x^{2}}=\frac{\cos(x)-1}{x^{2}\,\cos(x)}.

Passo 3

Reescrevendo como produto, temos
\frac{\cos(x)-1}{x^{2}\,\cos(x)}=\left(\frac{\cos(x)-1}{x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{\cos(x)}.
Quando x\to0 sabemos que \cos(x)\to1, então \dfrac{1}{\cos(x)}\to1. Assim basta calcular
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^{2}},
e depois multiplicar por 1.

Passo 4

Para calcular \lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)-1}{x^{2}} vamos usar a identidade trigonométrica útil
\cos(x)-1 = -2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo:
\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} = -2\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}}.
Agora reescrevemos para usar o limite fundamental \dfrac{\sin t}{t}\to1. Observe que
\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} = \left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\!\cdot\frac{1}{x^{2}} = \left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}.
Portanto
\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} = -2\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2} = -\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}.
Quando x\to0 tem-se \dfrac{x}{2}\to0 e pelo limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}=1.
Assim
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} = -\frac{1}{2}\cdot 1^{2} = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Voltando ao produto do Passo 3, temos
\lim_{x\to0}\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{x^{2}} = \left(\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^{2}}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(x)}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1 = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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