Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado)
lim x 2 raiz4 x+1-3x^2-4

Passo 1

Resumindo o enunciado: pedem o limite
limxto2raiz4x+1-3x^2-4
Isso é um indeterminado do tipo tfrac00. O conteúdo aqui é limites envolvendo raízes, e vamos precisar usar multiplicação e divisão pelo conjugado para eliminar a raiz.

Passo 2

Testando a substituição direta, temos numerador
raiz4cdot2+1-3=raiz9-3=0
e denominador
2^2-4=4-4=0,
logo forma tfrac00: indeterminação.

Passo 3

Para sair do indeterminado, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, raiz4x+1+3:
raiz4x+1-3x^2-4 ;times; raiz4x+1+3raiz4x+1+3 = (raiz4x+1)^2-3^2(x^2-4)l(raiz4x+1+3r) = 4x+1-9(x^2-4)l(raiz4x+1+3r)

Passo 4

Observe que 4x+1-9=4x-8=4(x-2) e x^2-4=(x-2)(x+2). Portanto
4(x-2)(x-2)(x+2)l(raiz4x+1+3r) = 4(x+2)l(raiz4x+1+3r)

Passo 5

Agora não há mais indeterminação, basta substituir x=2:
(x+2)l(raiz4x+1+3r)|x=2 =(2+2)l(raiz9+3r) =4cdot6=24,
logo
424=16

Resposta

16

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