Resolva a integral

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^pi2 integral0^12 cos x integral-y^5y 4,sin x ,dz,dy,dx
O conteúdo é inte­grais iteradas em coordenadas cartesianas. Vamos usar a definição de integral múltipla, integrando passo a passo em z, depois y e finalmente x, sem pular etapas.

Passo 2

Como a função integranda é 4sin x e não depende de z, podemos usar a propriedade de integração iterada: ao integrar em z basta multiplicar pelo comprimento do intervalo de z, que vai de z=-y até z=5y. Assim,
integral-y^5y4sin x,dz = 4sin x timesl[(5y)-(-y)r] = 4sin xcdot6y = 24ysin x

Passo 3

Substituindo o resultado na integral du­pla restante em y e x, obtemos
integral0^pi2integral0^12cos x24ysin x,dy,dx
Aqui a integral em y trata-se de calcular integral y,dy, uma aplicação direta da regra de potência.

Passo 4

Fazendo a integral em y:
integral0^12cos x24ysin x,dy = 24sin xcdoty^22|0^12cos x = 12sin xcdotl(12cos xr)^2 = 12sin xcdotcos^2 x4 = 3sin xcos^2 x
Agora a integral reduz a
integral0^pi23sin xcos^2 x,dx

Passo 5

Para calcular
integral0^pi23sin xcos^2 x,dx
vamos usar a substituição u=cos x, logo du=-sin x,dx. Isso transforma
sin x,dx = -du
e u varia de u(0)=cos0=1 até u(tfracpi2)=0. Assim,
integral0^pi23sin xcos^2 x,dx = 3integral1^0u^2(-du) = 3integral0^1u^2,du = 3cdotu^33|0^1 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados