O conteúdo é integrais iteradas em coordenadas cartesianas. Vamos usar a definição de integral múltipla, integrando passo a passo em z, depois y e finalmente x, sem pular etapas.
Passo 2
Como a função integranda é e não depende de , podemos usar a propriedade de integração iterada: ao integrar em basta multiplicar pelo comprimento do intervalo de , que vai de até . Assim,
Passo 3
Substituindo o resultado na integral dupla restante em e , obtemos
Aqui a integral em trata-se de calcular , uma aplicação direta da regra de potência.
Passo 4
Fazendo a integral em :
Agora a integral reduz a
integral0^pi23sin xcos^2 x,dx
Passo 5
Para calcular
integral0^pi23sin xcos^2 x,dx
vamos usar a substituição u=cos x, logo du=-sin x,dx. Isso transforma
sin x,dx = -du
e u varia de u(0)=cos0=1 até u(tfracpi2)=0. Assim,