Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule os seguintes limites e informe a propriedade ou teorema usado em cada passo:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: são funções polinomiais ou quocientes de polinômios avaliadas em pontos indicados. Não há outras condições explícitas.
Passo 2
Vou lembrar as propriedades/tetemas que vou usar (cada uma será citada ao aplicá‑la):
- Continuidade de polinômios: todo polinômio
é contínuo em todo . Isso significa que
Aqui
é o polinômio e
é o ponto de aproximação.
- Propriedade do quociente (continuidade de razão de polinômios): se
e são polinômios e , então
Isto decorre das leis de limite (soma, produto, quociente) combinadas com a continuidade dos polinômios.
- Leis básicas de limite (que justificam substituir por valores quando as funções são contínuas):
-
. -
. - Se
, então .
Essas são as ferramentas; agora aplico uma a uma aos itens.
Passo 3
Item (a): calcular
.
Aplicação: uso a continuidade do polinômio
. Pela propriedade 1,
Agora faço as contas passo a passo:
Portanto o limite vale
. (Teorema usado: continuidade de polinômios / leis de limite.)
Passo 4
Item (b): calcular
.
Aplicação: novamente polinômio
é contínuo, então
Cálculo detalhado:
Logo o limite é
. (Teorema usado: continuidade de polinômios.)
Passo 5
Item (c): calcular
.
Primeiro verifico os valores no numerador e no denominador em
:
Como o denominador em
é diferente de zero (
), posso aplicar a propriedade 2 (quociente de polinômios contínuos):
(Teorema usado: continuidade de polinômios e propriedade do quociente.)
Passo 6
Item (d): calcular
.
Avalio numerador e denominador em
:
Denominador é
, logo posso usar a propriedade do quociente (continuidade):
(Teorema usado: continuidade de polinômios e quociente.)
Passo 7
Item (e): calcular
.
Avalio numerador e denominador em
:
Denominador é
. Então, pela propriedade do quociente,
(Teorema usado: continuidade de polinômios e quociente; e propriedade de que zero dividido por número não nulo é zero.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)