Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
a) \lim _{x \rightarrow 1}\left(4 x^{2}-7 x+5\right)
b) \lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{3}-2 x^{2}-4 x+3\right)
c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x+2}{x^{2}-6 x+5}
d) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{3 x^{2}-5 x+4}{2 x+1}
e) \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+2 x-3}{5-3 x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule os seguintes limites e informe a propriedade ou teorema usado em cada passo:
  • (a) \lim_{x\to 1}\bigl(4x^{2}-7x+5\bigr).
  • (b) \lim_{x\to -1}\bigl(x^{3}-2x^{2}-4x+3\bigr).
  • (c) \lim_{x\to 2}\dfrac{3x+2}{x^{2}-6x+5}.
  • (d) \lim_{x\to -1}\dfrac{3x^{2}-5x+4}{2x+1}.
  • (e) \lim_{x\to -3}\dfrac{x^{2}+2x-3}{5-3x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: são funções polinomiais ou quocientes de polinômios avaliadas em pontos indicados. Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Vou lembrar as propriedades/tetemas que vou usar (cada uma será citada ao aplicá‑la):
  1. Continuidade de polinômios: todo polinômio p(x) é contínuo em todo \mathbb{R}. Isso significa que
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
Aqui p é o polinômio e a é o ponto de aproximação.
  1. Propriedade do quociente (continuidade de razão de polinômios): se p e q são polinômios e q(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}.
Isto decorre das leis de limite (soma, produto, quociente) combinadas com a continuidade dos polinômios.
  1. Leis básicas de limite (que justificam substituir por valores quando as funções são contínuas):
  • \lim_{x\to a} \bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x).
  • \lim_{x\to a} \bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr) = \lim_{x\to a} f(x)\cdot \lim_{x\to a} g(x).
  • Se \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
Essas são as ferramentas; agora aplico uma a uma aos itens.

Passo 3

Item (a): calcular \lim_{x\to 1}\bigl(4x^{2}-7x+5\bigr).
Aplicação: uso a continuidade do polinômio p(x)=4x^{2}-7x+5. Pela propriedade 1,
\lim_{x\to 1}\bigl(4x^{2}-7x+5\bigr)=4\cdot 1^{2}-7\cdot 1+5.
Agora faço as contas passo a passo:
1^{2}=1,\qquad 4\cdot 1=4,\qquad -7\cdot 1=-7,
4-7+5=(4-7)+5=-3+5=2.
Portanto o limite vale 2. (Teorema usado: continuidade de polinômios / leis de limite.)

Passo 4

Item (b): calcular \lim_{x\to -1}\bigl(x^{3}-2x^{2}-4x+3\bigr).
Aplicação: novamente polinômio q(x)=x^{3}-2x^{2}-4x+3 é contínuo, então
\lim_{x\to -1}\bigl(x^{3}-2x^{2}-4x+3\bigr)=(-1)^{3}-2(-1)^{2}-4(-1)+3.
Cálculo detalhado:
(-1)^{3}=-1,\qquad (-1)^{2}=1,\qquad -2\cdot 1=-2,
-4(-1)=+4,
-1-2+4+3 = (-1-2)+(4+3) = -3+7=4.
Logo o limite é 4. (Teorema usado: continuidade de polinômios.)

Passo 5

Item (c): calcular \lim_{x\to 2}\dfrac{3x+2}{x^{2}-6x+5}.
Primeiro verifico os valores no numerador e no denominador em x=2:
\text{numerador: }3\cdot 2+2=6+2=8.
\text{denominador: }2^{2}-6\cdot 2+5=4-12+5= -8+5=-3.
Como o denominador em x=2 é diferente de zero ( -3\neq 0), posso aplicar a propriedade 2 (quociente de polinômios contínuos):
\lim_{x\to 2}\dfrac{3x+2}{x^{2}-6x+5}=\dfrac{8}{-3}=-\dfrac{8}{3}.
(Teorema usado: continuidade de polinômios e propriedade do quociente.)

Passo 6

Item (d): calcular \lim_{x\to -1}\dfrac{3x^{2}-5x+4}{2x+1}.
Avalio numerador e denominador em x=-1:
\text{numerador: }3(-1)^{2}-5(-1)+4=3\cdot 1 +5 +4=3+5+4=12.
\text{denominador: }2(-1)+1=-2+1=-1.
Denominador é -1\neq 0, logo posso usar a propriedade do quociente (continuidade):
\lim_{x\to -1}\dfrac{3x^{2}-5x+4}{2x+1}=\dfrac{12}{-1}=-12.
(Teorema usado: continuidade de polinômios e quociente.)

Passo 7

Item (e): calcular \lim_{x\to -3}\dfrac{x^{2}+2x-3}{5-3x}.
Avalio numerador e denominador em x=-3:
\text{numerador: }(-3)^{2}+2(-3)-3=9-6-3=0.
\text{denominador: }5-3(-3)=5+9=14.
Denominador é 14\neq 0. Então, pela propriedade do quociente,
\lim_{x\to -3}\dfrac{x^{2}+2x-3}{5-3x}=\dfrac{0}{14}=0.
(Teorema usado: continuidade de polinômios e quociente; e propriedade de que zero dividido por número não nulo é zero.)

Resposta

(a) 2
(b) 4
(c) -\dfrac{8}{3}
(d) -12
(e) 0

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