Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
r(x)=|x|+x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função r definida por r(x)=|x|+x. O que é pedido:
  • Determinar o domínio de r.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por r).
  • Esboçar o gráfico de r.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão envolve o valor absoluto |x| e a variável x.
  • Não há outras restrições (como raízes de índice par com expressão negativa, divisão por zero etc.) no enunciado.

Passo 2

Entender o que é o valor absoluto e como ele se comporta — passo pedagógico curto e importante.
Definição útil do valor absoluto:
|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Explicação simples: |x| é a distância de x até zero. Se x é não negativo, a distância é ele mesmo; se x é negativo, a distância é -x (um número positivo).]

Passo 3

Aplicar a definição de [|x|) na expressão r(x)=|x|+x para separar a função em dois ramos (peça por peça).
Para x\ge 0:
|x|=x \quad\Rightarrow\quad r(x)=x+x=2x.
Para x<0:
|x|=-x \quad\Rightarrow\quad r(x)=-x+x=0.
Portanto obtemos a forma peça a peça
r(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x<0,\\[4pt] 2x, & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
Observação didática: em x=0\] ambas as expressões dão \(0, então a função está bem definida e contínua em 0.]

Passo 4

Determinar o domínio.
Raciocínio: |x| e x estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Não há nenhuma operação que restrinja x (como divisão por zero ou raiz de índice par com argumento negativo). Logo o domínio é todos os reais.
Assim o domínio é \mathbb{R} (ou (-\infty,\infty)).

Passo 5

Determinar a imagem (o conjunto de valores y=r(x)).
Analisar cada ramo:
  • Para x<0: temos r(x)=0. Assim o valor 0 é atingido por qualquer x<0.
  • Para x\ge 0: temos r(x)=2x. Quando x=0 obtém-se r(0)=0. Quando x>0, 2x>0 e, à medida que x cresce, 2x cresce sem limite. Portanto o ramo 2x atinge todos os valores positivos (0,+\infty).
Unindo os dois ramos, os valores possíveis de r(x) são 0 (do ramo constante) e todos os valores positivos (do ramo linear), ou seja todos os números não-negativos.
Portanto a imagem é o intervalo [0,\infty).

Passo 6

Esboço do gráfico — como desenhar na prova, passo a passo e intuitivamente.
  1. Ramo para x<0: a função vale sempre 0. No plano (x,y) isso é a reta horizontal y=0 para x<0. Como r(0)=0 também (pela outra expressão), o ponto (0,0) pertence ao gráfico.
  2. Ramo para x\ge 0: é a reta y=2x que passa pela origem com inclinação 2. Para x=1 tem y=2; para x=2 tem y=4. É uma semi-reta a partir da origem indo para a direita.
  3. Juntando: para x\le 0 o gráfico fica sobre o eixo x (linha horizontal em y=0) e, a partir de x=0, a partir do ponto (0,0) sobe a reta y=2x. O gráfico é contínuo em 0 mas a derivada esquerda ( 0) e direita ( 2) são diferentes — em linguagem informal há uma “quina” no ponto (0,0).
Tabela de pontos rápidos para desenhar:
\begin{array}{c|c} x & r(x)\\hline -2 & 0\\\\ -1 & 0\\\\ 0 & 0\\\\ 1 & 2\\\\ 2 & 4 \end{array}
Desenhe: uma linha horizontal em y=0 para x<0 (com o ponto (0,0) preenchido) e a partir de (0,0) a reta y=2x para x>0.

Passo 7

Observações finais de reforço (dica para prova):
  • Sempre que aparecer |x| é natural escrever peça a peça usando a definição |x|=\pm x.
  • Checar o ponto x=0 separadamente; muitas vezes os ramos coincidem ali (como neste caso), o que garante continuidade.
  • Para desenhar graficamente, calcule alguns pontos e observe comportamentos limites (por exemplo x\to+\infty e x\to-\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: reta horizontal y=0 para x<0 e reta y=2x para x\ge 0 (ponto (0,0) em comum).

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