Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
. O que é pedido:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
). - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão envolve o valor absoluto
e a variável . - Não há outras restrições (como raízes de índice par com expressão negativa, divisão por zero etc.) no enunciado.
Passo 2
Entender o que é o valor absoluto e como ele se comporta — passo pedagógico curto e importante.
Definição útil do valor absoluto:
Explicação simples:
é a distância de
até zero. Se
é não negativo, a distância é ele mesmo; se
é negativo, a distância é
(um número positivo).]
Passo 3
Aplicar a definição de [|x|) na expressão
para separar a função em dois ramos (peça por peça).
Para
:
Para
:
Portanto obtemos a forma peça a peça
Observação didática: em
, então a função está bem definida e contínua em
.]
Passo 4
Determinar o domínio.
Raciocínio:
e
estão definidos para todo
. Não há nenhuma operação que restrinja
(como divisão por zero ou raiz de índice par com argumento negativo). Logo o domínio é todos os reais.
Assim o domínio é
(ou
).
Passo 5
Determinar a imagem (o conjunto de valores
).
Analisar cada ramo:
- Para
: temos . Assim o valor é atingido por qualquer . - Para
: temos . Quando obtém-se . Quando , e, à medida que cresce, cresce sem limite. Portanto o ramo atinge todos os valores positivos .
Unindo os dois ramos, os valores possíveis de
são
(do ramo constante) e todos os valores positivos (do ramo linear), ou seja todos os números não-negativos.
Portanto a imagem é o intervalo
.
Passo 6
Esboço do gráfico — como desenhar na prova, passo a passo e intuitivamente.
-
Ramo para
: a função vale sempre . No plano isso é a reta horizontal para . Como também (pela outra expressão), o ponto pertence ao gráfico. -
Ramo para
: é a reta que passa pela origem com inclinação . Para tem ; para tem . É uma semi-reta a partir da origem indo para a direita. -
Juntando: para
o gráfico fica sobre o eixo (linha horizontal em ) e, a partir de , a partir do ponto sobe a reta . O gráfico é contínuo em mas a derivada esquerda ( ) e direita ( ) são diferentes — em linguagem informal há uma “quina” no ponto .
Tabela de pontos rápidos para desenhar:
Desenhe: uma linha horizontal em
para
(com o ponto
preenchido) e a partir de
a reta
para
.
Passo 7
Observações finais de reforço (dica para prova):
- Sempre que aparecer
é natural escrever peça a peça usando a definição . - Checar o ponto
separadamente; muitas vezes os ramos coincidem ali (como neste caso), o que garante continuidade. - Para desenhar graficamente, calcule alguns pontos e observe comportamentos limites (por exemplo
e ).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: reta horizontal para
e reta
para
(ponto
em comum).
Imagem:
Gráfico: reta horizontal