\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x^{2}-x+1}{3 x-2}\right)^{2} \stackrel{\left(L_{6}\right)}{=}\left(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-x+1}{3 x-2}\right)^{2} \stackrel{\left(L_{7}\right)}{=}
=\left(\frac{\lim _{x \rightarrow 1}\left(2 x^{2}-x+1\right)}{\lim _{x \rightarrow 1}(3 x-2)}\right)^{2} \stackrel{(T)}{=} 2^{2}=4

Passo 1

O que nos pedem e o que temos: calcular o limite
\lim_{x \to 1}\left(\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2}.
Informações úteis dadas pelo enunciado (explícitas ou implícitas):
  • A função dentro do limite é uma razão entre um polinômio 2x^{2}-x+1 e um polinômio linear 3x-2, elevada ao quadrado.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • Para prosseguir com regras de limite precisamos verificar que o limite do denominador em x=1 não é zero (caso contrário a regra da razão não se aplica diretamente).

Passo 2

Regras de limites que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do expoente (continuidade de t\mapsto t^{2}): se \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, então
\lim_{x\to a} \big(f(x)\big)^{2}=\Big(\lim_{x\to a} f(x)\Big)^{2}.
Ideia rápida: a função g(t)=t^{2} é contínua em todo t\in\mathbb{R}, então o limite pode ser trocado com g.
  • Regra da razão (quociente): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Aqui usamos também que polinômios e funções lineares são contínuos, então seus limites em um ponto são simplesmente os seus valores nesse ponto.

Passo 3

Aplicar a regra do expoente para tirar o quadrado para fora do limite. Pelo comentário anterior,
\lim_{x \to 1}\left(\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2} = \left(\lim_{x \to 1}\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2}.
Explicação curta: como a função quadrado é contínua, podemos calcular primeiro o limite da fração e depois elevar ao quadrado.

Passo 4

Aplicar a regra da razão dentro do parêntese: como 2x^{2}-x+1 e 3x-2 são polinômios (continuos) e o limite do denominador em x=1 é diferente de zero (vamos calcular), temos
\lim_{x \to 1}\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2} = \frac{\lim_{x \to 1}(2x^{2}-x+1)}{\lim_{x \to 1}(3x-2)}.
Ou seja, podemos substituir x por 1 em cada polinômio e dividir os resultados, desde que o denominador não zere.

Passo 5

Calcular o limite do numerador por substituição (polinômio):
\lim_{x \to 1}(2x^{2}-x+1)=2\cdot 1^{2}-1+1=2-1+1=2.
Mostrei cada passo da conta para você poder replicar na prova sem erro.

Passo 6

Calcular o limite do denominador por substituição (linear):
\lim_{x \to 1}(3x-2)=3\cdot 1-2=3-2=1.
Observação importante: como esse resultado é 1\neq 0, a regra da razão é válida e não há problema de divisão por zero.

Passo 7

Combinar os resultados: a fração tem limite \dfrac{2}{1}=2. Voltando ao passo do quadrado,
\left(\lim_{x \to 1}\frac{2x^{2}-x+1}{3x-2}\right)^{2}=2^{2}=4.
Portanto o limite pedido é 4.

Resposta

4

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