Passo 1
O que nos pedem e o que temos: calcular o limite
Informações úteis dadas pelo enunciado (explícitas ou implícitas):
- A função dentro do limite é uma razão entre um polinômio
e um polinômio linear , elevada ao quadrado. - O ponto de interesse é
. - Para prosseguir com regras de limite precisamos verificar que o limite do denominador em
não é zero (caso contrário a regra da razão não se aplica diretamente).
Passo 2
Regras de limites que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do expoente (continuidade de
): se existe e é finito, então
Ideia rápida: a função
é contínua em todo
, então o limite pode ser trocado com
.
- Regra da razão (quociente): se
e com , então
Aqui usamos também que polinômios e funções lineares são contínuos, então seus limites em um ponto são simplesmente os seus valores nesse ponto.
Passo 3
Aplicar a regra do expoente para tirar o quadrado para fora do limite. Pelo comentário anterior,
Explicação curta: como a função quadrado é contínua, podemos calcular primeiro o limite da fração e depois elevar ao quadrado.
Passo 4
Aplicar a regra da razão dentro do parêntese: como
e
são polinômios (continuos) e o limite do denominador em
é diferente de zero (vamos calcular), temos
Ou seja, podemos substituir
por
em cada polinômio e dividir os resultados, desde que o denominador não zere.
Passo 5
Calcular o limite do numerador por substituição (polinômio):
Mostrei cada passo da conta para você poder replicar na prova sem erro.
Passo 6
Calcular o limite do denominador por substituição (linear):
Observação importante: como esse resultado é
, a regra da razão é válida e não há problema de divisão por zero.
Passo 7
Combinar os resultados: a fração tem limite
. Voltando ao passo do quadrado,
Portanto o limite pedido é
.
Resposta
4