Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
g(x)=\sqrt{x-3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Foi dada a função g(x)=\sqrt{x-3}.
  • Perguntas:
    1. Encontrar o domínio de g.
    2. Encontrar a imagem (conjunto de valores que g assume).
    3. Esboçar o gráfico de g.

Passo 2

Entendendo a regra básica para raízes quadradas (uma explicação didática e calma).
  • A expressão \sqrt{\,\cdot\,} representa a raiz quadrada principal, que só está definida para radicandos maiores ou iguais a zero (porque a raiz quadrada real de um número negativo não existe no conjunto dos números reais).
  • Portanto, sempre que aparecer uma função do tipo \sqrt{\text{alguma expressão em }x}ã, a primeira coisa a fazer é impor que essa expressão seja maior ou igual a zero e resolver essa desigualdade.
  • Outra propriedade importante: a raiz quadrada principal produz valores não negativos, ou seja, \sqrt{t}\ge 0 para todo t\ge 0.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso para obter o domínio.
  • O radicando é x-3. Impomos
x-3 \ge 0.
  • Resolver essa desigualdade: somando 3 aos dois lados,
x \ge 3.
  • Conclusão: o domínio de g é o conjunto de todos os x reais maiores ou iguais a 3. Em notação de intervalos isso é
\text{Dom}(g) = [3,\infty).

Passo 4

Determinação da imagem (conjunto-valor) de g.
  • Para x no domínio temos y=g(x)=\sqrt{x-3}. Pelo comentário anterior, \sqrt{\cdot} sempre dá resultados \ge 0.
  • O menor valor possível de y ocorre quando o radicando é mínimo. Como x mínimo no domínio é x=3, temos y_{\min}=\sqrt{3-3}=\sqrt{0}=0.
  • À medida que x cresce sem limite, x-3 cresce sem limite e, portanto, \sqrt{x-3} também cresce sem limite. Logo não há teto superior; a imagem é ilimitada para cima.
  • Conclusão: a imagem é
\text{Im}(g) = [0,\infty).

Passo 5

Verificação alternativa (inversa) que ajuda a entender a imagem.
  • Se escrevermos y=\sqrt{x-3} com y\ge 0, podemos isolar x: elevando ao quadrado,
y^2 = x-3 \quad\Rightarrow\quad x = y^2+3.
  • Isso mostra que, para qualquer y\ge 0, existe um x=y^2+3 no domínio tal que g(x)=y. Assim todo y\ge 0 é realmente atingido por g, confirmando \text{Im}(g)=[0,\infty).

Passo 6

Comportamento e forma do gráfico — ideias para esboçar na prova.
  • A função g é exatamente a função raiz quadrada padrão f(t)=\sqrt{t} aplicada a t=x-3. Em termos de transformações, isto é um deslocamento horizontal de f três unidades para a direita. Em símbolos:
g(x)=\sqrt{x-3}=f(x-3).
  • Características visuais importantes:
    • O gráfico começa no ponto \bigl(3,0\bigr) (chamado ponto inicial ou vértice do ramo). Não existe nada para x<3.
    • A função é crescente: valores maiores de x dão valores maiores de g(x).
    • A curva tem inclinação grande perto de x=3 (o declive vai a infinito na esquerda do ponto inicial) e vai se tornando cada vez mais suave; isto é típico de \sqrt{\cdot}: crescimento decrescente (concavidade voltada para baixo).
  • Derivada (se quiser usar): para x>3,
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}>0,
o que confirma crescimento; e como \sqrt{x-3} cresce, g'(x) diminui com x, explicando a “achatamento” do gráfico.

Passo 7

Pontos úteis para plotar (faça uma tabela rápida na prova):
  • x=3 \Rightarrow g(3)=\sqrt{0}=0 dá o ponto \bigl(3,0\bigr).
  • x=4 \Rightarrow g(4)=\sqrt{1}=1 dá o ponto \bigl(4,1\bigr).
  • x=7 \Rightarrow g(7)=\sqrt{4}=2 dá o ponto \bigl(7,2\bigr).
  • x=12 \Rightarrow g(12)=\sqrt{9}=3 dá o ponto \bigl(12,3\bigr).
Com esses pontos traça-se uma curva suave que começa em \bigl(3,0\bigr), passa por \bigl(4,1\bigr), \bigl(7,2\bigr), \bigl(12,3\bigr) e segue subindo devagar para a direita.

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o esboço na prova (passo a passo rápido):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque x=3 no eixo x.
  2. Coloque o ponto \bigl(3,0\bigr). Esse é o início do gráfico.
  3. Plote os pontos \bigl(4,1\bigr) e \bigl(7,2\bigr) para guiar a forma.
  4. Desenhe uma curva contínua que parte em \bigl(3,0\bigr), sobe rapidamente no começo e depois vai se “achatando” à medida que se desloca para a direita. Não existe ramo à esquerda de x=3.
Boa notícia: desenhar assim leva menos de um minuto e fica fácil de justificar na prova com a explicação do domínio e dos pontos.

Resposta

Domínio: [3,\infty)
Imagem: [0,\infty)
Esboço: curva iniciando em \bigl(3,0\bigr), crescente e côncava para baixo, passando por \bigl(4,1\bigr),\\ \bigl(7,2\bigr),\\ \bigl(12,3\bigr) (é a função \sqrt{t} deslocada 3 unidades para a direita).

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