Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Foi dada a função
. - Perguntas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores que
assume). - Esboçar o gráfico de
.
- Encontrar o domínio de
Passo 2
Entendendo a regra básica para raízes quadradas (uma explicação didática e calma).
- A expressão
representa a raiz quadrada principal, que só está definida para radicandos maiores ou iguais a zero (porque a raiz quadrada real de um número negativo não existe no conjunto dos números reais). - Portanto, sempre que aparecer uma função do tipo
, a primeira coisa a fazer é impor que essa expressão seja maior ou igual a zero e resolver essa desigualdade. - Outra propriedade importante: a raiz quadrada principal produz valores não negativos, ou seja,
para todo .
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso para obter o domínio.
- O radicando é
. Impomos
- Resolver essa desigualdade: somando
aos dois lados,
- Conclusão: o domínio de
é o conjunto de todos os reais maiores ou iguais a . Em notação de intervalos isso é
Passo 4
Determinação da imagem (conjunto-valor) de
.
- Para
no domínio temos . Pelo comentário anterior, sempre dá resultados . - O menor valor possível de
ocorre quando o radicando é mínimo. Como mínimo no domínio é , temos . - À medida que
cresce sem limite, cresce sem limite e, portanto, também cresce sem limite. Logo não há teto superior; a imagem é ilimitada para cima. - Conclusão: a imagem é
Passo 5
Verificação alternativa (inversa) que ajuda a entender a imagem.
- Se escrevermos
com , podemos isolar : elevando ao quadrado,
- Isso mostra que, para qualquer
, existe um no domínio tal que . Assim todo é realmente atingido por , confirmando .
Passo 6
Comportamento e forma do gráfico — ideias para esboçar na prova.
- A função
é exatamente a função raiz quadrada padrão aplicada a . Em termos de transformações, isto é um deslocamento horizontal de três unidades para a direita. Em símbolos:
- Características visuais importantes:
- O gráfico começa no ponto
(chamado ponto inicial ou vértice do ramo). Não existe nada para . - A função é crescente: valores maiores de
dão valores maiores de . - A curva tem inclinação grande perto de
(o declive vai a infinito na esquerda do ponto inicial) e vai se tornando cada vez mais suave; isto é típico de : crescimento decrescente (concavidade voltada para baixo).
- O gráfico começa no ponto
- Derivada (se quiser usar): para
,
o que confirma crescimento; e como
cresce,
diminui com
, explicando a “achatamento” do gráfico.
Passo 7
Pontos úteis para plotar (faça uma tabela rápida na prova):
-
dá o ponto . -
dá o ponto . -
dá o ponto . -
dá o ponto .
Com esses pontos traça-se uma curva suave que começa em
, passa por
,
,
e segue subindo devagar para a direita.
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o esboço na prova (passo a passo rápido):
- Desenhe os eixos
e . Marque no eixo . - Coloque o ponto
. Esse é o início do gráfico. - Plote os pontos
e para guiar a forma. - Desenhe uma curva contínua que parte em
, sobe rapidamente no começo e depois vai se “achatando” à medida que se desloca para a direita. Não existe ramo à esquerda de .
Boa notícia: desenhar assim leva menos de um minuto e fica fácil de justificar na prova com a explicação do domínio e dos pontos.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço: curva iniciando em , crescente e côncava para baixo, passando por
(é a função
deslocada 3 unidades para a direita).
Imagem:
Esboço: curva iniciando em