Escreva os seguintes conjuntos utilizando a notação de intervalo.
{x \in \mathbb{R}, x \leq 1}.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto \{x \in \mathbb{R}\mid x \leq 1\} e pede para escrevê-lo usando a notação de intervalo.
Informações dadas:
  • A variável x é um número real ( x \in \mathbb{R}).
  • A condição é x \leq 1, ou seja, todos os reais menores ou iguais a 1.

Passo 2

Explicando a notação de intervalo (passo a passo, como se fosse na prova):
  • Um intervalo em \mathbb{R} é descrito por dois extremos: um menor (esquerdo) e um maior (direito). Escreve-se geralmente como \big[a,b\big], \big(a,b\big), \big[a,b\big) ou \big(a,b\big].
  • Colchete \big[\\ \big] indica que o extremo está incluído (fechado). Por exemplo, \big[1,2\big] contém 1 e 2.
  • Parêntese \big(\\ \big) indica que o extremo não está incluído (aberto). Por exemplo, \big(1,2\big) não contém 1 nem 2.
  • Quando um extremo vai até o infinito, usa-se \infty ou -\infty e SEMPRE se usa parêntese com infinito, porque \infty e -\infty não são números que possam ser incluídos. Ex.: \big(-\infty,3\big] ou \big(0,\infty\big).

Passo 3

Aplicando ao nosso conjunto:
  • O conjunto contém todos os reais menores ou iguais a 1. Portanto o extremo direito é 1 e ele é incluído, o que pede um colchete à direita: \,\ldots,1].
  • Não há menor limite finito; os valores vão indefinidamente para a esquerda, isto é, até -\infty. Com -\infty usa-se parêntese à esquerda: \big(-\infty,\ldots.
  • Juntando: o intervalo que representa \{x \in \mathbb{R}\mid x \leq 1\} é \big(-\infty,1\big].

Passo 4

Verificação por exemplos (para ter certeza na prova):
  • 0 pertence ao intervalo porque 0 \leq 1 e 0 \in \big(-\infty,1\big].
  • 1 pertence porque usamos colchete à direita.
  • 2 não pertence porque 2>1.
  • Números muito negativos, por exemplo -100, pertencem porque o intervalo vai até -\infty.

Resposta

\big(-\infty,1\big]

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