Calcule os seguintes limites, se existe:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{3}+x^{2}-x}{x^{2}+3 x}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{2x^{3}+x^{2}-x}{x^{2}+3x}.
O conteúdo principal aqui é limite de função racional, e vamos usar fatoração de polinômios para resolver a forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, fazemos substituição direta de x=0 na expressão:
\text{numerador} = 2\cdot0^{3}+0^{2}-0 = 0, \quad \text{denominador} = 0^{2}+3\cdot0 = 0.
Como obtemos 0/0, temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador:
2x^{3}+x^{2}-x = x\,(2x^{2}+x-1),
x^{2}+3x = x\,(x+3).
Para x\neq0, a expressão se simplifica para
\frac{2x^{3}+x^{2}-x}{x^{2}+3x} =\frac{x\,(2x^{2}+x-1)}{x\,(x+3)} =\frac{2x^{2}+x-1}{x+3}.

Passo 4

A expressão simplificada \frac{2x^{2}+x-1}{x+3} é contínua em x=0, então podemos substituir x=0 diretamente:
2\cdot0^{2}+0-1 = -1, \quad 0+3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-1}{3}.

Resposta

- \tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados