- QUESTÃO 1 (4 PONTOS):
Considere a função real
(a) Determine o domínio e a imagem da função.
(b) Ache os pontos de interseção com os eixos
e
.
(c) Encontre as assíntotas, se ela têm.
(d) Esboce o gráfico da função.
(e)
é bijetora em
? Justifique!
(a) Determine o domínio e a imagem da função.
(b) Ache os pontos de interseção com os eixos
(c) Encontre as assíntotas, se ela têm.
(d) Esboce o gráfico da função.
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede:
(a) domínio e imagem;
(b) interseções com os eixos e
;
(c) assíntotas;
(d) esboço do gráfico;
(e) verificar se é bijetora em
.
O conteúdo que vamos usar envolve análise de funções racionais (domínio, assíntotas, comportamento em infinito) e estudo de monotonicidade (derivada).
(a) domínio e imagem;
(b) interseções com os eixos
(c) assíntotas;
(d) esboço do gráfico;
(e) verificar se
O conteúdo que vamos usar envolve análise de funções racionais (domínio, assíntotas, comportamento em infinito) e estudo de monotonicidade (derivada).
Passo 2
Para determinar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero:
Logo o domínio é
Para encontrar a imagem, notamos que resolver
é equivalente a
uma equação cúbica em
que, para todo
, tem ao menos uma raiz real. Assim a imagem é
Passo 3
Intercepto com o eixo
: resolvemos
, isto é
Portanto há um único ponto de interseção
.
Intercepto com o eixo : basta avaliar em
, dando
. É o mesmo ponto
.
Intercepto com o eixo
Passo 4
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador anula:
Como o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador, existe assíntota oblíqua. Fazendo a divisão polinomial:
logo a parte dominante é
. Portanto a assíntota oblíqua é
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Há três ramos, separados pelas verticais
e . - Para
, , aproximando-se da reta . - Em
: - de
vem , - de
vem . - Em
: - de
vem , - de
vem . - O único ponto de cruzamento é
, e no intervalo a curva desce de para .
Passo 6
Para verificar bijetividade em
, calculamos a derivada:
No intervalo
, o denominador é positivo e
, logo
para todo
, e
. Assim
é estritamente decrescente e contínua em
. Como
ela atinge todos os valores reais e é injetora. Portanto é bijetora em
.
Resposta
(a) Domínio:
. Imagem:
.
(b) Interseção com os eixos: .
(c) Assíntotas verticais: ,
; assíntota oblíqua:
.
(d) Esboço: três ramos separados por e
, cruzando em
, aproximando-se de
em
, com os comportamentos em cada lado das verticais descritos no passo 5.
(e) Sim. Em a função é estritamente decrescente, contínua, com extremos em
, logo é bijetora.
(b) Interseção com os eixos:
(c) Assíntotas verticais:
(d) Esboço: três ramos separados por
(e) Sim. Em