• QUESTÃO 1 (4 PONTOS):
Considere a função real f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}
(a) Determine o domínio e a imagem da função.
(b) Ache os pontos de interseção com os eixos x e y.
(c) Encontre as assíntotas, se ela têm.
(d) Esboce o gráfico da função.
(e) f é bijetora em (-2,2) ? Justifique!

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}
e pede:
(a) domínio e imagem;
(b) interseções com os eixos x e y;
(c) assíntotas;
(d) esboço do gráfico;
(e) verificar se f é bijetora em (-2,2).
O conteúdo que vamos usar envolve análise de funções racionais (domínio, assíntotas, comportamento em infinito) e estudo de monotonicidade (derivada).

Passo 2

Para determinar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero:
x^{2}-4\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm2.
Logo o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.
Para encontrar a imagem, notamos que resolver
y=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}
é equivalente a
x^{3}-y\bigl(x^{2}-4\bigr)=0\;\Longrightarrow\;x^{3}-yx^{2}+4y=0,
uma equação cúbica em x que, para todo y\in\mathbb{R}, tem ao menos uma raiz real. Assim a imagem é \mathbb{R}.

Passo 3

Intercepto com o eixo x: resolvemos f(x)=0, isto é
\frac{x^{3}}{x^{2}-4}=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Portanto há um único ponto de interseção (0,0).
Intercepto com o eixo y: basta avaliar em x=0, dando f(0)=0. É o mesmo ponto (0,0).

Passo 4

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador anula:
x=-2\quad\text{e}\quad x=2.
Como o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador, existe assíntota oblíqua. Fazendo a divisão polinomial:
\frac{x^{3}}{x^{2}-4} = x + \frac{4x}{x^{2}-4},
logo a parte dominante é y=x. Portanto a assíntota oblíqua é
y = x.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Há três ramos, separados pelas verticais x=-2 e x=2.
  • Para x\to\pm\infty, f(x)\sim x, aproximando-se da reta y=x.
  • Em x=-2:
  • de x\to -2^{-} vem f(x)\to -\infty,
  • de x\to -2^{+} vem f(x)\to +\infty.
  • Em x=2:
  • de x\to 2^{-} vem f(x)\to -\infty,
  • de x\to 2^{+} vem f(x)\to +\infty.
  • O único ponto de cruzamento é (0,0), e no intervalo (-2,2) a curva desce de +\infty para -\infty.

Passo 6

Para verificar bijetividade em (-2,2), calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{3x^{2}(x^{2}-4)-x^{3}\cdot2x}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{x^{2}(x^{2}-12)}{(x^{2}-4)^{2}}.
No intervalo -2<x<2, o denominador é positivo e x^{2}-12<0, logo f'(x)<0 para todo x\neq0, e f'(0)=0. Assim f é estritamente decrescente e contínua em (-2,2). Como
\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty,
ela atinge todos os valores reais e é injetora. Portanto é bijetora em (-2,2).

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. Imagem: \mathbb{R}.
(b) Interseção com os eixos: (0,0).
(c) Assíntotas verticais: x=-2, x=2; assíntota oblíqua: y=x.
(d) Esboço: três ramos separados por x=-2 e x=2, cruzando em (0,0), aproximando-se de y=x em \pm\infty, com os comportamentos em cada lado das verticais descritos no passo 5.
(e) Sim. Em (-2,2) a função é estritamente decrescente, contínua, com extremos em \pm\infty, logo é bijetora.

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