Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x -2 2^x+2x^2-x-6;

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -22^x+2x^2 - x - 6
Conteúdo: análise de limite em que o denominador zera no ponto de interesse. Vamos precisar fatorar o denominador e estudar os limites laterais.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^2 - x - 6. Procuramos dois números que multipliquem -6 e somem -1, de modo que
x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)

Passo 3

Escrevemos a expressão do limite usando a fatoração:
2^x+2x^2 - x - 6 = 2^x+2(x+2)(x-3)
Note que em x=-2 temos 2^x+2=2^0=1 (não zera nem diverge) e (x-3)|x=-2=-5neq0. Logo, perto de x=-2,
2^x+2x-3approx1-5=-tfrac15,
e a singularidade vem só do fator (x+2) no denominador.

Passo 4

Para ver o comportamento, escrevemos
2^x+2(x+2)(x-3) =l(2^x+2x-3r)cdot1x+2 approx -tfrac15,1x+2
Agora basta analisar o sinal de x+2 quando xto -2 pelas esquerdas e pela direita.

Passo 5

Limite pela esquerda ( xto -2^-): então x+2<0 e muito pequeno, logo
1x+2to -infty Longrightarrow -tfrac15,1x+2to +infty
Portanto
limxto -2^-2^x+2x^2 - x - 6=+infty

Passo 6

Limite pela direita ( xto -2^+): agora x+2>0 e pequeno, de modo que
1x+2to +infty Longrightarrow -tfrac15,1x+2to -infty
Portanto
limxto -2^+2^x+2x^2 - x - 6=-infty

Passo 7

Como os limites laterais não coincidem (um vai a +infty e o outro a -infty), o limite em si não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
limxto -2^-2^x+2x^2 - x - 6=+infty e
limxto -2^+2^x+2x^2 - x - 6=-infty.

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