Calcule os seguintes limites, se existirem:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é um parâmetro constante. O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo uma constante no numerador e uma expressão que tende a zero no denominador.
Passo 2
Observe que o numerador
é constante em
. Já o denominador
tende a zero quando
. Há, portanto, duas situações a analisar:
- Se
, ou seja, . - Se
, ou seja, .
Passo 3
Caso
, temos
. Logo, para todo
suficientemente próximo de 1,
Assim,
Passo 4
Caso
, o numerador
é uma constante não nula. Então ao fazermos
, o denominador
e a fração tende a infinidade com sinal que depende do lado de aproximação e do sinal de
:
- Se
(ou seja ),
para leva a e
para leva a . - Se
(ou seja ), os sinais se invertem, dando pela esquerda e pela direita.
Em ambos os casos as duas bandeiras laterais não coincidem nem ficam num valor finito, logo o limite não existe (diverge).
Resposta
Para
, o limite existe e vale
.
Para , o limite não existe (diverge para
).
Para