Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x 1 1-k1-x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto11-k1-x
onde k é um parâmetro constante. O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo uma constante no numerador e uma expressão que tende a zero no denominador.

Passo 2

Observe que o numerador 1-k é constante em x. Já o denominador 1-x tende a zero quando xto1. Há, portanto, duas situações a analisar:
  • Se 1-k=0, ou seja, k=1.
  • Se 1-kneq0, ou seja, kneq1.

Passo 3

Caso k=1, temos 1-k=0. Logo, para todo xneq1 suficientemente próximo de 1,
1-k1-x=01-x=0
Assim,
limxto11-k1-x=0

Passo 4

Caso kneq1, o numerador 1-k é uma constante não nula. Então ao fazermos xto1, o denominador 1-xto0 e a fração tende a infinidade com sinal que depende do lado de aproximação e do sinal de 1-k:
  • Se 1-k>0 (ou seja k<1),
    1-x>0 para x<1 leva a +infty e
    1-x<0 para x>1 leva a -infty.
  • Se 1-k<0 (ou seja k>1), os sinais se invertem, dando -infty pela esquerda e +infty pela direita.
    Em ambos os casos as duas bandeiras laterais não coincidem nem ficam num valor finito, logo o limite não existe (diverge).

Resposta

Para k=1, o limite existe e vale 0.
Para kneq1, o limite não existe (diverge para pminfty).

Exercícios relacionados