Calcule os seguintes limites, se existirem:
\left.\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}.
O conteúdo aqui é comparação de crescimentos de funções (exponencial versus polinomial) e vamos usar a regra de L’Hôpital por causa da forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Verificamos a forma do limite. Quando x\to\infty, temos e^x\to\infty e x^2\to\infty, logo a expressão está em
\displaystyle\frac{\infty}{\infty},
que é indeterminada, permitindo aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital uma vez, derivando numerador e denominador:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(e^x)}{\frac{d}{dx}(x^2)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}.
Ainda temos \infty/\infty, então repetimos o processo.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(e^x)}{\frac{d}{dx}(2x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}.
Agora, como e^x\to\infty, segue que
\displaystyle\frac{e^x}{2}\to\infty.

Passo 5

Concluímos que o limite não converge para um número finito, mas cresce sem limite, ou seja, diverge para o infinito.

Resposta

\infty

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