Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} (reconheça o número especial)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolve limites de formas indeterminadas, uso de logaritmo natural e definição do número especial e.

Passo 2

Seja
L = \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}.
Como a função \exp é contínua, podemos tomar logaritmo natural e trocar limite e logaritmo:
\ln L = \lim_{x\to\infty} x \,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Para avaliar
\displaystyle \lim_{x\to\infty} x \,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr),
escrevemos-o como quociente
\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)}{1/x},
que é da forma 0/0 quando x\to\infty. Aplicando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(1+1/x)}{1/x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{d}{dx}\ln(1+1/x)}{\frac{d}{dx}(1/x)} = \lim_{x\to\infty} \frac{-\tfrac{1}{x^{2}(1+1/x)}}{-\tfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+1/x} = 1.
Logo \ln L = 1.

Passo 4

De \ln L = 1 segue
L = e^{1} = e.

Resposta

e

Exercícios relacionados