Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+3x}-x\bigr).
Esse limite é do tipo “ \infty-\infty”, então vamos usar o truque da racionalização para reescrever a expressão de forma que o limite fique evidente.

Passo 2

Multiplicamos a expressão por 1, usando a conjugada, isto é,
\sqrt{x^{2}+3x}-x = \bigl(\sqrt{x^{2}+3x}-x\bigr)\,\frac{\sqrt{x^{2}+3x}+x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}.

Passo 3

No numerador aparece a diferença de quadrados, então
(\sqrt{x^{2}+3x}-x)(\sqrt{x^{2}+3x}+x) = (x^{2}+3x)-x^{2} = 3x.
Logo o limite fica
\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}.

Passo 4

Fatoramos x de dentro da raiz e do termo isolado no denominador:
\sqrt{x^{2}+3x} = x\,\sqrt{1+\frac{3}{x}} \quad\text{e}\quad x = x.
Então
\sqrt{x^{2}+3x}+x = x\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}+1\Bigr),
e a fração é
\frac{3x}{x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}+1\bigr)} = \frac{3}{\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}+1}.

Passo 5

Quando x\to\infty, o termo \tfrac{3}{x} tende a zero, logo
\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}\;\longrightarrow\;\sqrt{1+0}=1.
Assim o limite final é
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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