Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{3}-x}{2 x^{3}+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função racional
\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{3}-x}{2x^{3}+5}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito: quando o grau do numerador e do denominador é o mesmo, basta comparar os coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para destacar os termos de maior grau, fatoramos x^{3} no numerador e no denominador:
\frac{4x^{3}-x}{2x^{3}+5} = \frac{x^{3}\bigl(4 - \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}{x^{3}\bigl(2 + \tfrac{5}{x^{3}}\bigr)}.

Passo 3

Como x\to-\infty, temos \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{5}{x^{3}}\to0. Assim,
\frac{4x^{3}-x}{2x^{3}+5} = \frac{4 - \tfrac{1}{x^{2}}}{2 + \tfrac{5}{x^{3}}} \longrightarrow \frac{4 - 0}{2 + 0}.

Passo 4

Logo,
\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{3}-x}{2x^{3}+5} = \frac{4}{2} = 2.

Resposta

2

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