Considere a função real f: R \rightarrow R definida por: \quad(1,5 ponto )
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-4}
a) Determine o domínio da função f.
b) Calcule o valor de f(3), caso pertença ao domínio.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-4}
e pede duas coisas:
a) determinar o domínio de f;
b) calcular o valor de f(3), caso 3 pertença ao domínio.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\sqrt{x-1} aparece no numerador e x^{2}-4 no denominador. Não há mais informações externas.

Passo 2

Entendimento da primeira restrição: a raiz quadrada.
Quando aparece \sqrt{\; \cdot \;} com codomínio real, o radicando precisa ser não negativo para que a expressão seja real. Aqui o radicando é x-1. Portanto devemos exigir
x-1 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade obtemos
x \ge 1.
Isto significa que, para a função ser real, somente valores x maiores ou iguais a 1 podem ser considerados — qualquer x<1 torna \sqrt{x-1} não real.

Passo 3

Entendimento da segunda restrição: divisão por zero.
Uma fração \dfrac{\text{algo}}{x^{2}-4} só está bem definida se o denominador for diferente de zero. Logo exigimos
x^{2}-4 \neq 0.
Para achar os pontos que anulam o denominador, resolvemos a equação
x^{2}-4 = 0.
Isto é equivalente a
x^{2}=4,
cuja solução é
x=2 \quad\text{ou}\quad x=-2.
Portanto precisamos excluir x=2 e x=-2 do domínio, porque nesses pontos a função não estaria definida (divisão por zero).

Passo 4

Interseção das restrições para obter o domínio.
Juntando as duas condições:
  • da Passo 2: x\ge 1;
  • da Passo 3: x\neq 2 e x\neq -2.
Como x=-2 não satisfaz x\ge 1, ele já está fora da faixa permitida pela raiz; não precisamos nos preocupar com ele além de notar que é excluído. O único ponto na região x\ge1 que precisa ser explicitamente retirado é x=2.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os x tais que x\ge1, exceto x=2. Em notação de intervalos isso é
[1,2)\cup(2,\infty).

Passo 5

Verificação e cálculo de f(3).
Primeiro verificamos se x=3 pertence ao domínio encontrado. Como 3\ge1 e 3\neq 2, temos 3\in[1,2)\cup(2,\infty). Logo 3 pertence ao domínio e podemos calcular f(3).
Substituindo x=3 em
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-4},
obtemos
f(3)=\frac{\sqrt{3-1}}{3^{2}-4}.
Calculando passo a passo:
3-1 = 2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{3-1}=\sqrt{2},
e
3^{2}-4 = 9-4 = 5.
Portanto
f(3)=\frac{\sqrt{2}}{5}.

Resposta

a) [1,2)\cup(2,\infty)
b) \dfrac{\sqrt{2}}{5}

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