Considere a função real
definida por:
ponto
a) Determine o domínio da função
.
b) Calcule o valor de
, caso pertença ao domínio.
b) Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
a) determinar o domínio de ;
b) calcular o valor de , caso
pertença ao domínio.
a) determinar o domínio de
b) calcular o valor de
Informações relevantes dadas no enunciado:
aparece no numerador e
no denominador. Não há mais informações externas.
Passo 2
Entendimento da primeira restrição: a raiz quadrada.
Quando aparece com codomínio real, o radicando precisa ser não negativo para que a expressão seja real. Aqui o radicando é
. Portanto devemos exigir
Quando aparece
Resolvendo essa desigualdade obtemos
Isto significa que, para a função ser real, somente valores
maiores ou iguais a
podem ser considerados — qualquer
torna
não real.
Passo 3
Entendimento da segunda restrição: divisão por zero.
Uma fração só está bem definida se o denominador for diferente de zero. Logo exigimos
Uma fração
Para achar os pontos que anulam o denominador, resolvemos a equação
Isto é equivalente a
cuja solução é
Portanto precisamos excluir
e
do domínio, porque nesses pontos a função não estaria definida (divisão por zero).
Passo 4
Interseção das restrições para obter o domínio.
Juntando as duas condições:
Juntando as duas condições:
- da Passo 2:
; - da Passo 3:
e .
Como
não satisfaz
, ele já está fora da faixa permitida pela raiz; não precisamos nos preocupar com ele além de notar que é excluído. O único ponto na região
que precisa ser explicitamente retirado é
.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os
tais que
, exceto
. Em notação de intervalos isso é
Passo 5
Verificação e cálculo de
.
Primeiro verificamos se pertence ao domínio encontrado. Como
e
, temos
. Logo
pertence ao domínio e podemos calcular
.
Primeiro verificamos se
Substituindo
em
obtemos
Calculando passo a passo:
e
Portanto
Resposta
a)
b)
b)