Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{8 x^{4}+3 x^{2}+2 x+1}{4-x^{4}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{8x^{4}+3x^{2}+2x+1}{4-x^{4}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão de polinômios com grau máximo 4 tanto no numerador quanto no denominador.
  • O limite é tomado quando x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando x\to\infty em valor absoluto ( |x|\to\infty), os termos de maior grau dos polinômios dominam o comportamento da função. Isso acontece porque potências maiores de |x| crescem muito mais rápido que potências menores. Uma forma rigorosa e prática de explorar isso é dividir numerador e denominador pelo maior expoente de x presente, aqui x^{4}. Essa divisão é válida para todo x\neq0 e preserva o valor da razão.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{4}. Observação: como x^{4}>0 para todo x\neq0, não precisamos nos preocupar com sinais ao dividir por x^{4}.
\frac{8x^{4}+3x^{2}+2x+1}{4-x^{4}} = \frac{\dfrac{8x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{3x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{2x}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{4}{x^{4}}-\dfrac{x^{4}}{x^{4}}} = \frac{8+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{4}{x^{4}}-1}.

Passo 4

Agora passo ao limite termo a termo. Quando x\to -\infty (ou mesmo x\to+\infty) os termos que têm potências negativas de x tendem a zero:
\lim_{x\to -\infty}\frac{3}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{4}}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{4}{x^{4}}=0.
Portanto, aplicando o limite na expressão obtida:
\lim_{x\to -\infty}\frac{8+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{4}{x^{4}}-1} = \frac{8+0+0+0}{0-1} = \frac{8}{-1}=-8.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivo: o termo de maior grau no numerador é 8x^{4} e no denominador é -x^{4}, então a razão dos coeficientes dá o limite -8. Boa! Esse tipo de manipulação é padrão em limites de funções racionais quando os graus dos polinômios são iguais — lembra de dividir tudo pelo maior grau e observar os termos que vão a zero.

Resposta

-8

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