Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}-9}{x-3}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{2}-9}{x-3}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma fração algébrica com numerador x^{2}-9 e denominador x-3.
  • O ponto x=3 anula o denominador (ou seja, a expressão não está definida em x=3), mas o limite pedido é quando x tende a +\infty, ou seja, para x muito grande e positivo.
  • A tarefa é decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor (pode ser um número finito ou +\infty / -\infty).

Passo 2

Repare que o numerador x^{2}-9 é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=3, obtemos
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Esta é uma identidade algébrica verdadeira para todo x.

Passo 3

Substituindo a fatoração no quociente, temos
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}.
Para x\neq3 é possível cancelar o fator comum x-3, portanto, para todo x\neq3,
\frac{x^{2}-9}{x-3}=x+3.
Observação importante: a igualdade acima vale apenas para x\neq3 porque em x=3 a expressão original não está definida. Mas isso não impede estudar o limite quando x\to+\infty, pois nesse processo x fica longe de 3.

Passo 4

Como para todos os x suficientemente grandes (e em particular para todos x maiores que 3) vale
\frac{x^{2}-9}{x-3}=x+3,
o cálculo do limite reduz-se ao cálculo de
\lim_{x\to +\infty} (x+3).

Passo 5

Intuitivamente, à medida que x cresce sem limite, x+3 também cresce sem limite; somar a constante 3 não impede que a expressão vá para +\infty. Formalmente, para qualquer número real M>0 pode-se escolher X_0 = \max\{1,\,M-3\}. Se x>X_0 então x+3>M. Isso demonstra que x+3 cresce além de qualquer limite quando x tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to +\infty} (x+3)=+\infty.

Passo 6

Concluindo, como a expressão original coincide com x+3 para todo x\neq3 e o comportamento quando x\to+\infty é governado por x+3, o limite pedido é +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados