Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma fração algébrica com numerador
e denominador . - O ponto
anula o denominador (ou seja, a expressão não está definida em ), mas o limite pedido é quando tende a , ou seja, para muito grande e positivo. - A tarefa é decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor (pode ser um número finito ou
/ ).
Passo 2
Repare que o numerador
é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
Aplicando com
e
, obtemos
Esta é uma identidade algébrica verdadeira para todo
.
Passo 3
Substituindo a fatoração no quociente, temos
Para
é possível cancelar o fator comum
, portanto, para todo
,
Observação importante: a igualdade acima vale apenas para
porque em
a expressão original não está definida. Mas isso não impede estudar o limite quando
, pois nesse processo
fica longe de
.
Passo 4
Como para todos os
suficientemente grandes (e em particular para todos
maiores que
) vale
o cálculo do limite reduz-se ao cálculo de
Passo 5
Intuitivamente, à medida que
cresce sem limite,
também cresce sem limite; somar a constante
não impede que a expressão vá para
. Formalmente, para qualquer número real
pode-se escolher
. Se
então
. Isso demonstra que
cresce além de qualquer limite quando
tende a
. Portanto
Passo 6
Concluindo, como a expressão original coincide com
para todo
e o comportamento quando
é governado por
, o limite pedido é
.