Exercício 5
Seja
a função tal que
Calcule, se existirem,
e
.
Calcule, se existirem,
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
As perguntas que o exercício faz são:
- Calcular
; - Calcular
; - Calcular
(ou seja, o limite bilateral, se existir).
Informações relevantes fornecidas:
- Para
usaremos a expressão . - Para
usaremos a expressão .]
Passo 2
O que significam os limites laterais e por que isso importa aqui?
-
é o limite quando se aproxima de vindo pela esquerda (valores menores que ). Para calcular esse limite, só interessam os valores de para , ou seja, a expressão . -
é o limite quando se aproxima de vindo pela direita (valores maiores que ). Para esse limite, só interessam os valores de para , ou seja, a expressão . - O limite bilateral
existe se e somente se os dois limites laterais existirem e forem iguais.
Explicação curta e útil sobre uma propriedade que vamos usar: polinômios e funções lineares são contínuos em todo lugar. Isso quer dizer que, se a expressão que define
numa vizinhança de
for um polinômio ou uma reta, então o limite quando
(pela esquerda ou pela direita, dentro daquela expressão) é obtido apenas substituindo
na expressão.
Passo 3
Calcular
.
Para
temos
. Como
é uma função linear (contínua), o limite pela esquerda é a substituição
nessa expressão. Portanto:
Comentário prático: quando
se aproxima de
por valores menores (por exemplo
),
se aproxima de
.
Passo 4
Calcular
.
Para
temos
. Essa é uma função polinomial (contínua), então o limite pela direita é a substituição
na expressão. Calculando:
Agora a conta:
Logo
Passo 5
Comparar os limites laterais e concluir sobre
.
Encontramos
Como os dois limites laterais são finitos mas diferentes (
), o limite bilateral
NÃO existe.
Observação adicional (útil para a prova): o valor da função em
é dado pela cláusula
, então
. Isso mostra que há uma descontinuidade de salto em
: a direita e o valor coincidem (
), mas a esquerda dá
.