Exercício 5

Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função tal que f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-4 x+5 \text { se } x \geq 2 \\\ x+1 \text { se } x<2\end{array}\right.
Calcule, se existirem, \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-4x+5 & \text{se } x\ge 2,\\[4pt] x+1 & \text{se } x<2. \end{cases}
As perguntas que o exercício faz são:
  • Calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x);
  • Calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x);
  • Calcular \lim_{x\to 2} f(x) (ou seja, o limite bilateral, se existir).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<2 usaremos a expressão \;f(x)=x+1\;.
  • Para x\ge 2 usaremos a expressão \;f(x)=x^{2}-4x+5\;.]

Passo 2

O que significam os limites laterais e por que isso importa aqui?
  • \lim_{x\to 2^{-}} f(x) é o limite quando x se aproxima de 2 vindo pela esquerda (valores menores que 2). Para calcular esse limite, só interessam os valores de f(x) para x<2, ou seja, a expressão x+1.
  • \lim_{x\to 2^{+}} f(x) é o limite quando x se aproxima de 2 vindo pela direita (valores maiores que 2). Para esse limite, só interessam os valores de f(x) para x>2, ou seja, a expressão x^{2}-4x+5.
  • O limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) existe se e somente se os dois limites laterais existirem e forem iguais.
Explicação curta e útil sobre uma propriedade que vamos usar: polinômios e funções lineares são contínuos em todo lugar. Isso quer dizer que, se a expressão que define f numa vizinhança de 2 for um polinômio ou uma reta, então o limite quando x\to 2 (pela esquerda ou pela direita, dentro daquela expressão) é obtido apenas substituindo x=2 na expressão.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x).
Para x<2 temos \;f(x)=x+1\;. Como x+1 é uma função linear (contínua), o limite pela esquerda é a substituição x=2 nessa expressão. Portanto:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (x+1)=2+1=3.
Comentário prático: quando x se aproxima de 2 por valores menores (por exemplo 1{,}9, 1{,}99, \dots), x+1 se aproxima de 3.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Para x\ge 2 temos \;f(x)=x^{2}-4x+5\;. Essa é uma função polinomial (contínua), então o limite pela direita é a substituição x=2 na expressão. Calculando:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (x^{2}-4x+5)=2^{2}-4\cdot 2+5.
Agora a conta:
2^{2}=4,\qquad 4\cdot 2=8,\qquad 4-8+5=1.
Logo
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=1.

Passo 5

Comparar os limites laterais e concluir sobre \lim_{x\to 2} f(x).
Encontramos
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=3 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=1.
Como os dois limites laterais são finitos mas diferentes ( 3\neq 1), o limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) NÃO existe.
Observação adicional (útil para a prova): o valor da função em x=2 é dado pela cláusula x\ge 2, então f(2)=2^{2}-4\cdot2+5=1. Isso mostra que há uma descontinuidade de salto em x=2: a direita e o valor coincidem ( 1), mas a esquerda dá 3.

Resposta

\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=3
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=1
\lim_{x\to 2} f(x) não existe

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