Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende para
da função racional
Informações dadas:
- Numerador é o polinômio
. - Denominador é o polinômio
. - O parâmetro que varia é
e a direção é .
O objetivo é calcular.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): para quocientes de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando
é muito grande. Uma forma direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui
), reduzindo a expressão a termos que tendem a zero ou a constantes. Isso evita manipulação imprudente e é fácil de aplicar na prova.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(note que para
isso é permitido) obtemos:
Passo 4
Análise dos termos que aparecem:
- Para qualquer inteiro
vale . Intuitivamente, porque o denominador cresce sem limite e a fração vai a zero. - Logo
, , e .
Passo 5
Aplicando o limite termo a termo na expressão obtida no Passo 3:
Passo 6
Interpretação curta: os termos de grau menor tornam-se irrelevantes frente aos de grau
quando
; o limite é simplesmente a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau (no numerador
para
e no denominador
para
em
), o que dá
.