Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{4}+3 x^{2}+2 x+1}{4-x^{4}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende para +\infty da função racional
\frac{2x^{4}+3x^{2}+2x+1}{4-x^{4}}.
Informações dadas:
  • Numerador é o polinômio 2x^{4}+3x^{2}+2x+1.
  • Denominador é o polinômio 4-x^{4}.
  • O parâmetro que varia é x e a direção é x\to+\infty.
    O objetivo é calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{4}+3x^{2}+2x+1}{4-x^{4}}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): para quocientes de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando |x| é muito grande. Uma forma direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{4}), reduzindo a expressão a termos que tendem a zero ou a constantes. Isso evita manipulação imprudente e é fácil de aplicar na prova.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{4} (note que para x\neq0 isso é permitido) obtemos:
\frac{2x^{4}+3x^{2}+2x+1}{4-x^{4}} = \frac{\dfrac{2x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{3x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{2x}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{4}{x^{4}}-\dfrac{x^{4}}{x^{4}}} = \frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{4}{x^{4}}-1}.

Passo 4

Análise dos termos que aparecem:
  • Para qualquer inteiro k>0 vale \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0. Intuitivamente, porque o denominador cresce sem limite e a fração vai a zero.
  • Logo \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{2}}=0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{3}}=0, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{4}}=0 e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x^{4}}=0.

Passo 5

Aplicando o limite termo a termo na expressão obtida no Passo 3:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{4}{x^{4}}-1} = \frac{2+0+0+0}{0-1}=\frac{2}{-1}=-2.

Passo 6

Interpretação curta: os termos de grau menor tornam-se irrelevantes frente aos de grau 4 quando x\to+\infty; o limite é simplesmente a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau (no numerador 2 para x^{4} e no denominador -1 para x^{4} em 4-x^{4}), o que dá -2.

Resposta

-2

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