Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável
tende para (ou seja, toma valores reais cada vez mais negativos).
Passo 2
Verificar onde a expressão está definida: o denominador
é zero em
, então a função original não está definida em
. Porém, isso não impede que se calcule o limite quando
, pois esse ponto está longe de
.
Passo 3
Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados
. Aqui
e
, logo
Passo 4
Substituir a fatoração na expressão e simplificar, lembrando que a simplificação vale para
:
Assim, para todo
suficientemente grande em módulo (e, em particular, para
), a expressão coincide com
.
Passo 5
Calcular o limite da expressão simplificada. Como a função é igual a
para
, vale
Agora, explicar por que
: quando
vai a
, a parcelas constantes (como
) são insignificantes perante
; formalmente, para qualquer
basta escolher
para garantir que, se
, então
. Isso mostra que
fica arbitarimente negativo e sem limite inferior, ou seja, tende para
.
Portanto o limite procurado diverge para .
Portanto o limite procurado diverge para