Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-9}{x-3}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}-9}{x-3}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{2}-9}{x-3}.
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, x toma valores reais cada vez mais negativos).

Passo 2

Verificar onde a expressão está definida: o denominador x-3 é zero em x=3, então a função original não está definida em x=3. Porém, isso não impede que se calcule o limite quando x\to -\infty, pois esse ponto está longe de -\infty.

Passo 3

Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui a=x e b=3, logo
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Substituir a fatoração na expressão e simplificar, lembrando que a simplificação vale para x\neq3:
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad\text{(para }x\neq3\text{)}.
Assim, para todo x suficientemente grande em módulo (e, em particular, para x\to -\infty), a expressão coincide com x+3.

Passo 5

Calcular o limite da expressão simplificada. Como a função é igual a x+3 para x\neq3, vale
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to -\infty}(x+3).
Agora, explicar por que \lim_{x\to -\infty}(x+3)=-\infty: quando x vai a -\infty, a parcelas constantes (como +3) são insignificantes perante x; formalmente, para qualquer M>0 basta escolher X< -M-3 para garantir que, se x<X, então x+3<-M. Isso mostra que x+3 fica arbitarimente negativo e sem limite inferior, ou seja, tende para -\infty.
Portanto o limite procurado diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

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