Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{5 x^{2}+4 x-2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{2}-3x+1}{5x^{2}+4x-2}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior grau de x, que é x^{2}.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^{2}, obtemos
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{2}-3x+1}{5x^{2}+4x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}}}{\frac{5x^{2}+4x-2}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{5 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}.
À medida que x \to \infty, os termos \tfrac{3}{x}, \tfrac{1}{x^{2}}, \tfrac{4}{x} e \tfrac{2}{x^{2}} tendem a zero. Logo, o limite é
\frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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