Calcule os seguintes limites laterais, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral à esquerda
Informações dadas:
- A função em questão é
. - Queremos o comportamento quando
se aproxima de vindo pela esquerda (ou seja, e pequeno).
Passo 2
Primeiro vamos juntar as frações num único quociente para facilitar a análise:
Mostrei a soma sobre um denominador comum:
e
.
Passo 3
Agora simplifico dividindo numerador e denominador por
(válido para
):
Essa forma isola o fator
, cujo comportamento quando
é bem conhecido e útil.
Passo 4
Usamos o fato clássico (e que vale provar separadamente em teoria):
Breve justificativa amigável: pode-se provar por desigualdades geométricas (squeeze theorem) ou por série de Taylor; o importante é que
tende a
quando
. Assim, para
temos
.
Passo 5
Observe o sinal de
quando
: como
é ímpar e
perto de zero, para
pequeno temos
e
. Portanto, no quociente
o numerador tende para
(positivo) enquanto o denominador tende para
vindo do lado negativo. Dividir um número positivo finito por algo que vai para
dá
. Logo a expressão diverge para menos infinito à esquerda de zero.
Passo 6
(confirmação alternativa) Usando expansão em série para intuir:
, então
e assim
que, para
, é dominado por
. Isso confirma o resultado anterior.