Calcule os seguintes limites laterais, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin (x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral à esquerda
\lim_{x\to 0^-}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin(x)}\right).
Informações dadas:
  • A função em questão é f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sin(x)}.
  • Queremos o comportamento quando x se aproxima de 0 vindo pela esquerda (ou seja, x<0 e |x| pequeno).

Passo 2

Primeiro vamos juntar as frações num único quociente para facilitar a análise:
\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)+x}{x\sin(x)}.
Mostrei a soma sobre um denominador comum: \dfrac{1}{x}=\dfrac{\sin(x)}{x\sin(x)} e \dfrac{1}{\sin(x)}=\dfrac{x}{x\sin(x)}.

Passo 3

Agora simplifico dividindo numerador e denominador por x (válido para x\neq0):
\frac{\sin(x)+x}{x\sin(x)}=\frac{\dfrac{\sin(x)}{x}+1}{\sin(x)}.
Essa forma isola o fator \dfrac{\sin(x)}{x}, cujo comportamento quando x\to0 é bem conhecido e útil.

Passo 4

Usamos o fato clássico (e que vale provar separadamente em teoria):
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.
Breve justificativa amigável: pode-se provar por desigualdades geométricas (squeeze theorem) ou por série de Taylor; o importante é que \dfrac{\sin(x)}{x} tende a 1 quando x\to0. Assim, para x\to0 temos \dfrac{\sin(x)}{x}+1\to 2.

Passo 5

Observe o sinal de \sin(x) quando x\to0^-: como \sin é ímpar e \sin(x)\approx x perto de zero, para x<0 pequeno temos \sin(x)<0 e \sin(x)\to 0^-. Portanto, no quociente
\frac{\dfrac{\sin(x)}{x}+1}{\sin(x)}
o numerador tende para 2 (positivo) enquanto o denominador tende para 0 vindo do lado negativo. Dividir um número positivo finito por algo que vai para 0^- -\infty. Logo a expressão diverge para menos infinito à esquerda de zero.

Passo 6

(confirmação alternativa) Usando expansão em série para intuir: \sin(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+O(x^5), então
\frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{x}+ \frac{x}{6}+O(x^3),
e assim
\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin(x)}\approx \frac{2}{x}+\frac{x}{6}+O(x^3),
que, para x\to0^-, é dominado por \dfrac{2}{x}\to -\infty. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

-\infty

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