Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável que tende é
e o ponto de interesse é . - A expressão é uma razão entre funções trigonométricas com argumentos deslocados por constantes (
e ).
Passo 2
Vou usar as fórmulas de adição de ângulos para cosseno e seno. Essas fórmulas valem para quaisquer números
e
:
Aqui
e
são os ângulos somados; no nosso caso
e
será
ou
. Vou aplicar as fórmulas para simplificar cada parte.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula:
Sabendo que
e
, segue
Calcular
usando a fórmula:
Sabendo que
e
, segue
Passo 4
Substituindo essas simplificações na expressão do limite, obtemos
Para
tal que
podemos cancelar
no numerador e no denominador, ficando
Agora é preciso justificar que essa simplificação vale ao tomar o limite em
. Como
é uma função contínua e
, o limite do denominador é diferente de zero, então podemos usar as propriedades de limite que permitem dividir pelos limites. Portanto
Passo 5
Conclusão final: o limite existe e vale
.