Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x+\pi)}{2 \sin (x+\pi / 2)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x+\pi)}{2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável que tende é x e o ponto de interesse é x=0.
  • A expressão é uma razão entre funções trigonométricas com argumentos deslocados por constantes ( \pi e \pi/2).

Passo 2

Vou usar as fórmulas de adição de ângulos para cosseno e seno. Essas fórmulas valem para quaisquer números u e v:
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v,
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v.
Aqui u e v são os ângulos somados; no nosso caso u=x e v será \pi ou \tfrac{\pi}{2}. Vou aplicar as fórmulas para simplificar cada parte.

Passo 3

Calcular \cos(x+\pi) usando a fórmula:
\cos(x+\pi)=\cos x\cos\pi-\sin x\sin\pi.
Sabendo que \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, segue
\cos(x+\pi)=\cos x\cdot(-1)-\sin x\cdot 0 = -\cos x.
Calcular \sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right) usando a fórmula:
\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin x\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\cos x\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, segue
\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x.

Passo 4

Substituindo essas simplificações na expressão do limite, obtemos
\frac{\cos(x+\pi)}{2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)} = \frac{-\cos x}{2\cos x}.
Para x tal que \cos x\neq 0 podemos cancelar \cos x no numerador e no denominador, ficando
\frac{-\cos x}{2\cos x} = -\frac{1}{2}.
Agora é preciso justificar que essa simplificação vale ao tomar o limite em x\to 0. Como \cos x é uma função contínua e \cos 0 = 1 \neq 0, o limite do denominador é diferente de zero, então podemos usar as propriedades de limite que permitem dividir pelos limites. Portanto
\lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{2\cos x} = -\frac{\lim_{x\to 0}\cos x}{2\lim_{x\to 0}\cos x} = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão final: o limite existe e vale -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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