Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-9}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x-9}{x-3}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x-9}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3.
    O objetivo é determinar se o limite bilateral existe e, se for o caso, calcular o seu valor. Se o limite bilateral não existir, é útil olhar também os limites laterais (pela direita e pela esquerda).

Passo 2

Avaliação por substituição direta para ver o que acontece:
  • Numerador em x=3: \,3-9=-6 (converge para um número finito diferente de zero).
  • Denominador em x=3: \,3-3=0.
    Logo temos um caso em que o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a 0. Antes de concluir, é conveniente manipular algebricamente para deixar claro o comportamento. Reescrevendo:
x-9=(x-3)-6,
portanto
\frac{x-9}{x-3}=\frac{(x-3)-6}{x-3}=1-\frac{6}{x-3}.
Essa forma mostra que o comportamento do quociente é determinado por \dfrac{6}{x-3} quando x se aproxima de 3.

Passo 3

Análise dos limites laterais usando a forma \,1-\dfrac{6}{x-3}.
  • Limite pela direita ( x\to3^+): para x>3 próximo de 3 temos x-3>0 muito pequeno, então
\frac{6}{x-3}\to +\infty.
Assim
1-\frac{6}{x-3}\to 1-(+\infty) = -\infty.
Intuição numérica: se x=3{,}001 então \dfrac{x-9}{x-3}\approx -5{,}999/0{,}001\approx -5999, muito negativo.
  • Limite pela esquerda ( x\to3^-): para x<3 próximo de 3 temos x-3<0 e pequeno em módulo, então
\frac{6}{x-3}\to -\infty.
Assim
1-\frac{6}{x-3}\to 1-(-\infty)=+\infty.
Intuição numérica: se x=2{,}999 então \dfrac{x-9}{x-3}\approx -6{,}001/(-0{,}001)\approx +6001, muito positivo.

Passo 4

Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem ( \lim_{x\to3^-}=+\infty e \lim_{x\to3^+}=-\infty), o limite bilateral \lim_{x\to3}\dfrac{x-9}{x-3} não existe como número finito nem converge a um único tipo de infinito. Em termos práticos, o limite diverge e os dois lados tendem para sinais opostos.

Resposta

Não existe.\newline
\displaystyle \lim_{x\to3^-}\frac{x-9}{x-3}=+\infty\newline
\displaystyle \lim_{x\to3^+}\frac{x-9}{x-3}=-\infty

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