Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow \pi} \cos (x-\pi)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to\pi} \cos(x-\pi).
Não há outros dados; sabemos que a função que aparece é a função cosseno aplicada à expressão x-\pi.

Passo 2

Ideia geral e ferramentas que podemos usar (sem resolver ainda):
  • Uma forma direta é usar o fato de que a função cosseno é contínua em todo ponto: se f é contínua em a, então \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Outra forma é usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão antes de tomar o limite. Vou mostrar as duas, porque isso ajuda a entender e dá segurança na prova.

Passo 3

Lembrando o conceito de continuidade e por que ele vale aqui:
  • A função \cos(\cdot) é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Isso significa que, para qualquer número t_0,
    \displaystyle \lim_{u\to t_0}\cos(u)=\cos(t_0).
  • No nosso limite temos a composição \cos(x-\pi). Ao fazer x\to\pi temos x-\pi\to 0. Pela continuidade de \cos podemos então substituir diretamente:
\lim_{x\to\pi}\cos(x-\pi)=\cos\bigl(\lim_{x\to\pi}(x-\pi)\bigr)=\cos(0).
  • E \cos(0)=1. Portanto, por esta via, o limite é 1.

Passo 4

Agora a via alternativa usando identidade trigonométrica (para fixar a ideia):
  • Usando a fórmula do cosseno da diferença:
\cos(x-\pi)=\cos x\cos\pi+\sin x\sin\pi.
  • Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, obtemos
\cos(x-\pi)=\cos x\cdot(-1)+\sin x\cdot 0 = -\cos x.
  • Então
\lim_{x\to\pi}\cos(x-\pi)=\lim_{x\to\pi}(-\cos x) = -\lim_{x\to\pi}\cos x.
  • Como \cos é contínua, \lim_{x\to\pi}\cos x=\cos\pi=-1. Logo
-\lim_{x\to\pi}\cos x = -(\cos\pi) = -(-1)=1.
Isso confirma o resultado anterior.

Passo 5

Resumo didático rápido (para lembrar na prova): ou se usa a continuidade de \cos e substitui x-\pi\to 0 para obter \cos(0), ou se aplica a identidade \cos(x-\pi)=-\cos x e avalia -\cos(\pi). As duas maneiras dão o mesmo e são rápidas de aplicar sem calculadora.

Resposta

\displaystyle 1

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