Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
.
Não há outros dados; sabemos que a função que aparece é a função cosseno aplicada à expressão .
Não há outros dados; sabemos que a função que aparece é a função cosseno aplicada à expressão
Passo 2
Ideia geral e ferramentas que podemos usar (sem resolver ainda):
- Uma forma direta é usar o fato de que a função cosseno é contínua em todo ponto: se
é contínua em , então . - Outra forma é usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão antes de tomar o limite. Vou mostrar as duas, porque isso ajuda a entender e dá segurança na prova.
Passo 3
Lembrando o conceito de continuidade e por que ele vale aqui:
- A função
é contínua para todo . Isso significa que, para qualquer número ,
. - No nosso limite temos a composição
. Ao fazer temos . Pela continuidade de podemos então substituir diretamente:
- E
. Portanto, por esta via, o limite é .
Passo 4
Agora a via alternativa usando identidade trigonométrica (para fixar a ideia):
- Usando a fórmula do cosseno da diferença:
- Como
e , obtemos
- Então
- Como
é contínua, . Logo
Isso confirma o resultado anterior.
Passo 5
Resumo didático rápido (para lembrar na prova): ou se usa a continuidade de
e substitui
para obter
, ou se aplica a identidade
e avalia
. As duas maneiras dão o mesmo e são rápidas de aplicar sem calculadora.