Calcule os seguintes limites laterais, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin (x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a limite lateral
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin(x)}\right).
Informações importantes que nos foram dadas:
  • A aproximação é pela direita: x\to0^{+}, portanto consideramos x>0 e pequeno.
  • Para x pequeno e positivo temos \sin(x)>0, então ambas as frações \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{\sin(x)} são positivas.

Passo 2

Entender o comportamento de \dfrac{1}{x} quando x\to0^{+}.
Quando x>0 e tende a 0, o denominador fica cada vez menor, logo o valor de \dfrac{1}{x} cresce sem limite. Em símbolos:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.
Intuição: se x=\tfrac{1}{n} com n\to\infty, então \dfrac{1}{x}=n\to\infty.

Passo 3

Entender o comportamento de \dfrac{1}{\sin(x)} quando x\to0^{+}.
Usamos a desigualdade clássica para x>0 pequeno:
\sin(x)<x.
Como \sin(x) e x são positivos, ao inverter a desigualdade obtemos
\frac{1}{\sin(x)}>\frac{1}{x}.
Já vimos em

Passo 4

\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\sin(x)}=+\infty.
(obs.: outra forma intuitiva é usar que \sin(x)\sim x quando x\to0, então \dfrac{1}{\sin x}\sim\dfrac{1}{x}.)

Passo 5

Conclusão sobre a soma. Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} temos, combinando as desigualdades:
\frac{1}{x}+\frac{1}{\sin(x)}>\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Como \lim_{x\to0^{+}}\dfrac{2}{x}=+\infty, a quantidade à esquerda também tende a +\infty. Portanto a soma diverge para infinito positivo.

Resposta

+\infty

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