Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 4}\left(-2 x^{2}+6\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4}\left(-2x^{2}+6\right).
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite devemos calcular é -2x^{2}+6.
  • O ponto de aproximação é x=4.
  • Trata-se de uma única pergunta: encontrar o valor do limite (se existir).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): funções polinomiais são contínuas em todo ponto. Isso significa, em palavras simples, que se uma função f é polinomial então o limite quando x tende a um ponto a é simplesmente o valor da função em a:
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Por que isso facilita? Porque assim podemos calcular o limite avaliando a expressão em x=a, sem precisar de argumentos de aproximação complicados. Além disso, existem leis de limite que justificam isso de forma algébrica:
  • \displaystyle \lim_{x\to a} (g(x)+h(x))=\lim_{x\to a} g(x)+\lim_{x\to a} h(x),
  • \displaystyle \lim_{x\to a} (c\cdot g(x))=c\cdot\lim_{x\to a} g(x) para constante c,
  • \displaystyle \lim_{x\to a} (g(x)\cdot h(x))=\lim_{x\to a} g(x)\cdot\lim_{x\to a} h(x),
    e potências também se comportam bem: \displaystyle \lim_{x\to a} x^{2}=a^{2}.
    Essas regras permitem reduzir o limite do polinômio a operações aritméticas com números.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso: escrevemos o limite como soma e produto de limites menores:
\lim_{x\to 4}\left(-2x^{2}+6\right)= -2\cdot\lim_{x\to 4}x^{2} + \lim_{x\to 4}6.
Agora usamos que \displaystyle \lim_{x\to 4}x^{2}=4^{2} e que \displaystyle \lim_{x\to 4}6=6 (constante).

Passo 4

Calcule passo a passo os valores numéricos:
4^{2}=16,
-2\cdot 16 = -32,
-32 + 6 = -26.

Passo 5

Conclusão: o limite existe (porque a função é polinomial/continua em x=4) e o valor encontrado pela substituição e pelas contas é -26. Força aí — é só substituir e fazer as contas quando for polinômio!

Resposta

-26

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