Calcule os seguintes limites, quando eles existirem.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin x)}{x}.
O conteúdo aqui é limite de função composta envolvendo funções trigonométricas. Vamos usar a aproximação \sin u\sim u para u\to0 e a propriedade de produto de limites.

Passo 2

Reescrevemos o quociente de forma a separar dois limites conhecidos:
\frac{\sin(\sin x)}{x} =\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\,\cdot\frac{\sin x}{x}.

Passo 3

Sabemos que \sin x\to0 quando x\to0, e o limite fundamental da função seno é
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Aplicando isso a cada fator:
  1. No primeiro fator, tome u=\sin x. Como \sin x\to0,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)}{\sin x} =\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
  1. No segundo fator, diretamente
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Pelo produto de limites, o valor do limite original é 1\cdot1=1.

Resposta

1

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