Calcule os seguintes limites, quando eles existirem.
\lim _{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite lateral
\lim_{x\to \pi^{+}}\frac{\sin x}{\,x-\pi\,}.
O conteúdo envolve limites unilaterais em ponto de descontinuidade potencial e uso da identidade trigonométrica junto ao limite fundamental
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
x=\pi+h,
onde h\to 0^{+}. Assim, x\to\pi^{+} equivale a h\to0^{+} e x-\pi=h.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos
\lim_{x\to \pi^{+}}\frac{\sin x}{x-\pi} =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin(\pi+h)}{h}.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\sin(\pi+h)=-\sin h,
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\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin(\pi+h)}{h} =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{-\sin h}{h} =-\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin h}{h}.

Passo 5

Como o limite fundamental
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1
vale também lateralmente, temos
-\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin h}{h}=-1.

Resposta

-1

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