Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
  1. d y / d t=a y+b y^{2}, \quad a>0, \quad b>0, \quad y_{0} \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a EDO autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)=a\,y+b\,y^2,
com a>0, b>0 e condição inicial y(0)=y_0\ge0.
Conteúdo: equilíbrio e estabilidade de sistemas autônomos unidimensionais, linha de fase e comportamento qualitativo das soluções.

Passo 2

Definimos
f(y)=a\,y+b\,y^2=b\,y^2+a\,y.
Esse é um polinômio de segundo grau em y, com concavidade para cima b>0. Zeros de f correspondem às interseções da parábola com o eixo y.

Passo 3

Para achar os pontos críticos (equilíbrios), resolvemos
f(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad b\,y^2+a\,y=0 \quad\Longrightarrow\quad y\,(a+b\,y)=0,
logo os equilíbrios são
y^*_1=0, \quad y^*_2=-\frac{a}{b}.

Passo 4

Calculamos a derivada
f'(y)=\frac{d}{dy}(a\,y+b\,y^2)=a+2\,b\,y.
Em cada equilíbrio:
- Em y^*_1=0:
f'(0)=a>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{instável (fonte).}á
- Em y^*_2=-\frac{a}{b}:
f'\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr) = a+2\,b\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr) = a-2a=-a<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{assintoticamente estável (sumidouro).}á

Passo 5

Linha de fase em y:
\bullet Para y>0, tem f(y)=a\,y+b\,y^2>0 ⇒ setas para cima.
\bullet Para -\tfrac{a}{b}<y<0, tem f(y)<0 ⇒ setas para baixo.
\bullet Para y<-\tfrac{a}{b}, de novo f(y)>0 ⇒ setas para cima.
Como y_0\ge0, a dinâmica relevante é a região y\ge0: a única fronteira é y=0, mas para todo y>0 a solução cresce.

Passo 6

Comportamento das soluções y(t) vs.\ t:
– Se y_0=0, fica em equilíbrio: y(t)\equiv0.
– Se y_0>0, então dy/dt>0 sempre e y(t) cresce sem limite, atingindo +\infty em tempo finito (explosão).
Esboço qualitativo: curvas começando em y_0>0, monotonicamente crescentes e verticalizando em uma reta vertical (tempo de explosão); a curva y=0 é trivial.

Resposta

Pontos de equilíbrio:
y^*_1=0\quad(\text{instável}), \qquad y^*_2=-\frac{a}{b}\quad(\text{estável}).áá
Linha de fase: setas para cima em y>0, para baixo em -\tfrac{a}{b}<y<0 e para cima em y<-\tfrac{a}{b}.
Para y_0\ge0: se y_0=0 permanece em 0; se y_0>0 cresce e explode em tempo finito.

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