Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
y.
-
Passo 1
O enunciado dá a EDO autônoma
com
,
e condição inicial
.
Conteúdo: equilíbrio e estabilidade de sistemas autônomos unidimensionais, linha de fase e comportamento qualitativo das soluções.
Conteúdo: equilíbrio e estabilidade de sistemas autônomos unidimensionais, linha de fase e comportamento qualitativo das soluções.
Passo 2
Definimos
Esse é um polinômio de segundo grau em
, com concavidade para cima
. Zeros de
correspondem às interseções da parábola com o eixo
.
Passo 3
Para achar os pontos críticos (equilíbrios), resolvemos
logo os equilíbrios são
Passo 4
Calculamos a derivada
Em cada equilíbrio:
- Em :
- Em
- Em
:
Passo 5
Linha de fase em
:
Para
, tem
⇒ setas para cima.
Para
, tem
⇒ setas para baixo.
Para
, de novo
⇒ setas para cima.
Como
, a dinâmica relevante é a região
: a única fronteira é
, mas para todo
a solução cresce.
Passo 6
Comportamento das soluções
vs.\
:
– Se
, fica em equilíbrio:
.
– Se
, então
sempre e
cresce sem limite, atingindo
em tempo finito (explosão).
Esboço qualitativo: curvas começando em
, monotonicamente crescentes e verticalizando em uma reta vertical (tempo de explosão); a curva
é trivial.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
Linha de fase: setas para cima em
, para baixo em
e para cima em
.
Para : se
permanece em
; se
cresce e explode em tempo finito.
Para