Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
y.
Passo 1
O enunciado trata da EDO autônoma
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações autônomas: vamos (1) esboçar , (2) achar pontos de equilíbrio, (3) determinar estabilidade via sinais de
, (4) desenhar a reta de fase e (5) esboçar curvas solução no plano
.
O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações autônomas: vamos (1) esboçar
Passo 2
Para esboçar o gráfico de
note que é um polinômio cúbico com raízes em
.
- Para
: cada fator é , logo . - Em
: . - Em
: . - Para
: .
O esboço qualitativo segue uma curva que cruza o eixoem , com sinal alternado conforme os intervalos acima.
Passo 3
Os pontos críticos (equilíbrios) satisfazem
, ou seja
Passo 4
Classificação de cada equilíbrio pelo sentido das setas na reta de fase:
- Em
: para , (seta à esquerda); para , (seta à direita). Arrows afastam-se de , logo é instável. - Em
: para , (seta à direita); para , (seta à esquerda). Arrows dirigem-se a , logo é assintoticamente estável. - Em
: para , (seta à esquerda); para , (seta à direita). Arrows afastam-se de , logo é instável.
Passo 5
Reta de fase para
:
0 ◯––▶––◯ 1––◀––◯ 2––▶––→
onde “◯” marca equilíbrio e as setas indicam o sentido de evolução de
.
Passo 6
Esboço de soluções no plano
para
:
- Se
, e cresce monotonicamente, aproximando-se de quando . - Se
, a solução é constante . - Se
, e decresce monotonicamente, aproximando-se de quando . - Se
, a solução é constante . - Se
, e cresce sem limite (diverge).
Resposta
Equilíbrios e estabilidade:
— instável;
— assintoticamente estável;
— instável.