Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
d y / d t=y(y-1)(y-2), \quad y_{0} \geq 0

Passo 1

O enunciado trata da EDO autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y),\quad f(y)=y(y-1)(y-2),
com condição inicial y(0)=y_0\ge0.
O conteúdo aqui é análise qualitativa de equações autônomas: vamos (1) esboçar f(y), (2) achar pontos de equilíbrio, (3) determinar estabilidade via sinais de f(y), (4) desenhar a reta de fase e (5) esboçar curvas solução no plano (t,y).

Passo 2

Para esboçar o gráfico de
f(y)=y(y-1)(y-2),
note que é um polinômio cúbico com raízes em y=0,1,2.
  • Para y<0: cada fator é \,(−)\,(−)\,(−), logo f(y)<0.
  • Em 0<y<1: (+)\,(−)\,(−)\implies f(y)>0.
  • Em 1<y<2: (+)\,(+)\,(−)\implies f(y)<0.
  • Para y>2: (+)\,(+)\,(+)\implies f(y)>0.
    O esboço qualitativo segue uma curva que cruza o eixo y em 0,1,2, com sinal alternado conforme os intervalos acima.

Passo 3

Os pontos críticos (equilíbrios) satisfazem f(y)=0, ou seja
y=0,\quad y=1,\quad y=2.

Passo 4

Classificação de cada equilíbrio pelo sentido das setas na reta de fase:
  • Em y=0: para y<0, f(y)<0 (seta à esquerda); para 0<y<1, f(y)>0 (seta à direita). Arrows afastam-se de y=0, logo é instável.
  • Em y=1: para 0<y<1, f(y)>0 (seta à direita); para 1<y<2, f(y)<0 (seta à esquerda). Arrows dirigem-se a y=1, logo é assintoticamente estável.
  • Em y=2: para 1<y<2, f(y)<0 (seta à esquerda); para y>2, f(y)>0 (seta à direita). Arrows afastam-se de y=2, logo é instável.

Passo 5

Reta de fase para y\ge0:
0 ◯––▶––◯ 1––◀––◯ 2––▶––→
onde “◯” marca equilíbrio e as setas indicam o sentido de evolução de y(t).

Passo 6

Esboço de soluções no plano (t,y) para y_0\ge0:
  • Se 0<y_0<1, dy/dt>0 e y(t) cresce monotonicamente, aproximando-se de 1 quando t\to+\infty.
  • Se y_0=1, a solução é constante y(t)=1.
  • Se 1<y_0<2, dy/dt<0 e y(t) decresce monotonicamente, aproximando-se de 1 quando t\to+\infty.
  • Se y_0=2, a solução é constante y(t)=2.
  • Se y_0>2, dy/dt>0 e y(t) cresce sem limite (diverge).

Resposta

Equilíbrios e estabilidade: y=0 — instável; y=1 — assintoticamente estável; y=2 — instável.

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