Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- Numerador:
.\n - Denominador:
.\n - Grau do numerador:
(termo dominante ).\n - Grau do denominador:
(termo dominante ).\n - Coeficiente líder do numerador:
.\n - Coeficiente líder do denominador:
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para limites de funções racionais quando
a comparação dos graus dos polinômios é o que determina o comportamento. São três casos básicos:
- Se o grau do numerador
é menor que o grau do denominador ( ), então
Isto acontece porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
- Se
, então o limite é o quociente dos coeficientes líderes:
- Se
, o valor absoluto da fração cresce sem limite (a expressão diverge). Mais especificamente: - se
a fração cresce aproximadamente como uma constante vezes (vai para ou dependendo do sinal do termo dominante), - em geral, se
a fração tende para ou conforme o sinal do termo dominante para ou .
- se
Exemplo rápido para fixar:
. Aqui grau numerador
então o limite é
; mais precisamente o termo dominante é
que vai para
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: o grau do numerador é
e o do denominador é
. Portanto
e o limite deve divergir para infinito positivo ou negativo. Para saber qual, examinamos o termo dominante quando
é grande e positivo.
Uma maneira rigorosa e prática de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador, aqui
. Faço isso para simplificar a expressão e ver os termos que vão desaparecer quando
:
Agora analiso os termos que contêm frações com
no denominador. Quando
valem:
Logo, para
grande a expressão se comporta como
E
quando
. Como o denominador da forma reduzida tende a
(não se anula), a passagem ao limite é legítima.
Passo 4
Explicação alternativa (intuição via divisão polinomial): dividir
por
dá quociente
e resto
. Assim
O termo
tende a
quando
(comportamento como
). Portanto o todo se comporta como
para
grande, e vai para
.
Passo 5
Conclusão: o limite não existe como número finito; a expressão diverge para
quando
. Vai para
porque o grau do numerador é maior que o do denominador e o coeficiente líder do termo dominante é positivo (
).
Força aí — esse tipo de limite vira automático com prática: compare graus e, se necessário, divida por potências de
para ver os termos que desaparecem.