Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}-8}{x^{2}-4}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{5x^{3}-8}{x^{2}-4}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Numerador: \,5x^{3}-8.\n
  • Denominador: \,x^{2}-4.\n
  • Grau do numerador: 3 (termo dominante 5x^{3}).\n
  • Grau do denominador: 2 (termo dominante x^{2}).\n
  • Coeficiente líder do numerador: 5.\n
  • Coeficiente líder do denominador: 1.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty a comparação dos graus dos polinômios é o que determina o comportamento. São três casos básicos:
  • Se o grau do numerador m é menor que o grau do denominador n ( m<n), então
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\text{num}}{\text{den}} = 0.
Isto acontece porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
  • Se m=n, então o limite é o quociente dos coeficientes líderes:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\text{num}}{\text{den}} = \frac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}}.íí
  • Se m>n, o valor absoluto da fração cresce sem limite (a expressão diverge). Mais especificamente:
    • se m=n+1 a fração cresce aproximadamente como uma constante vezes x (vai para +\infty ou -\infty dependendo do sinal do termo dominante),
    • em geral, se m>n a fração tende para +\infty ou -\infty conforme o sinal do termo dominante para x\to+\infty ou x\to-\infty.
Exemplo rápido para fixar: \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{x+5}. Aqui grau numerador 2>1 então o limite é \pm\infty; mais precisamente o termo dominante é 2x^2/x = 2x que vai para +\infty.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2. Portanto m>n e o limite deve divergir para infinito positivo ou negativo. Para saber qual, examinamos o termo dominante quando x é grande e positivo.
Uma maneira rigorosa e prática de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, aqui x^{2}. Faço isso para simplificar a expressão e ver os termos que vão desaparecer quando x\to+\infty:
\frac{5x^{3}-8}{x^{2}-4} = \frac{x^{2}\!\left(5x - \dfrac{8}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(1 - \dfrac{4}{x^{2}}\right)} = \frac{5x - \dfrac{8}{x^{2}}}{1 - \dfrac{4}{x^{2}}}.
Agora analiso os termos que contêm frações com x^{2} no denominador. Quando x\to+\infty valem:
\frac{8}{x^{2}} \longrightarrow 0,\qquad \frac{4}{x^{2}} \longrightarrow 0.
Logo, para x grande a expressão se comporta como
\frac{5x - 0}{1 - 0} = 5x.
E \,5x \to +\infty quando x\to +\infty. Como o denominador da forma reduzida tende a 1 (não se anula), a passagem ao limite é legítima.

Passo 4

Explicação alternativa (intuição via divisão polinomial): dividir 5x^{3}-8 por x^{2}-4 dá quociente 5x e resto 20x-8. Assim
\frac{5x^{3}-8}{x^{2}-4} = 5x + \frac{20x-8}{x^{2}-4}.
O termo \dfrac{20x-8}{x^{2}-4} tende a 0 quando x\to+\infty (comportamento como 20/x). Portanto o todo se comporta como 5x para x grande, e vai para +\infty.

Passo 5

Conclusão: o limite não existe como número finito; a expressão diverge para +\infty quando x\to+\infty. Vai para +\infty porque o grau do numerador é maior que o do denominador e o coeficiente líder do termo dominante é positivo ( 5).
Força aí — esse tipo de limite vira automático com prática: compare graus e, se necessário, divida por potências de x para ver os termos que desaparecem.

Resposta

+\infty

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