Determine os valores de x, nos quais a função dada é contínua.
f(x)=\left{ \begin{array}{l}2 x-3 \quad \text { se } x \leq 1 \\ x^{2} \quad \text { se } 1<x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x-3, & x\le1,\\\ x^2, & x>1. \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes. Para resolver, vamos usar que todo polinômio é contínuo no seu domínio e depois checar o ponto de junção x=1.

Passo 2

Cada ramo é um polinômio: 2x-3 é contínuo em (-\infty,1] e x^2 é contínuo em (1,\infty). Assim, não há problemas de continuidade para x<1 nem para x>1.

Passo 3

Falta verificar a continuidade em x=1. Precisamos de
  1. \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2x-3)=2\cdot1-3=-1.
  2. f(1)=2\cdot1-3=-1.
  3. \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1^2=1.
Como \lim_{x\to1^-}f(x)\neq\lim_{x\to1^+}f(x), a função não é contínua em x=1.

Resposta

A função é contínua para todo x\neq1, isto é, em (-\infty,1)\cup(1,\infty).

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